Re: Meccanica quantistica

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: 20 Jun 2006 14:37:07 -0700

Tetis wrote:
> in effetti se potessimo calcolare <1| U(t) |0> per ogni t avremmo
> la risposta al problema. Il problema sta nella forma della U(t)
> che tu hai scritto nel post precedente:
>
> U(t)=exp(ieE(t)p/w^2)
>
> che implementa la trasformazione canonica
>
> q'=U(t) q U^(-1)(t)=q+e/w^2 E(t)
> p'=U(t) p U^(-1)(t)=p.
>
> � vero che l'equazione che hai scritto implementa questa trasformazione
> canonica, ma il punto � che le coordinate q' e p' non sono soluzioni
> delle equazioni di Heisenberg per l'hamiltoniana H(p,q,t).

Vero, ma non capisco cosa c'entra :)

>Un modo complementare � quello di passare per le
> equazioni di Schroedinger dipendenti dal tempo

Ma io ho usato proprio quelle: l'operatore evoluzione temporale O(t)
che risolve il problema differenziale con la condizione O(0)=Identita'
e' dato dall'esponenziale T-ordinato dell'integrale nel tempo
dell'Hamiltoniana dipendente dal tempo

O(t)=Texp(-i int_0^t H(q,p,t') dt').

Nuovamente si inserisce la completezza degli stati |n'>=U(t)|n> da cui
usando che

H(q,p,t)|n'>=E_n'|n'>=E_n-e^2/(2w^2) E^2(t)

si ha

O(t)=sum_n O(t)|n'><n'|=c(t)exp(-i tE_n)n'><n'|

con c(t) a norma 1 che non conta.

Dunque |0> si evolve con O(t) ,cioe' O(t)|0> risolve Schroedinger
dipendente dal tempo con condizione iniziale uguale a |0>! . Mi sembra
che il problema sia ben definito e con le equazioni giuste (sempre
salvo errori :)).
Ne segue l'ampiezza di transizione che avevo illustarto nel vecchio
post (cioe' calcolare <1|U(t)|n> e analoghe) che si determina
attraverso l'algebra degli operatori in gioco cioe' usando le regole di
commutazione tra U(t) con a e a* con potenze n-esime.

> Il problema sta nella forma della U(t)
> che tu hai scritto nel post precedente

Faccio presente che il Teorema di Von Neumann assicura che data una
trasformazione canonica questa e' implementata in maniera unica a meno
di una fase.

>Metodo di Green. Seguendo questi metodi Husimi
> e Feynmann hanno trovato la soluzione a cui fa riferimento dandini:
> una variante di questo metodo � quella che puoi trovare illustrata sul
> Merzbacher.

Non conosco questi lavori ma mi sembra che si possa capire questo
problema senza andare a vedere altrove.

Saluti e grazie per le risposte stimolanti.
Received on Tue Jun 20 2006 - 23:37:07 CEST