Re: Lagrangiana di Dirac

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 12 Jun 2006 21:24:34 +0200

Paolo Pani ha scritto:
> Salve, sto cominciando a studiare un po' di teoria quantistica dei
> campi e mi � venuto un problema che sembra tanto banale che
> sicuramente nasconde il fatto che non ho capito nulla!!:)
> E' presto detto:
>
> Ma ora mi chiedo...questa lagrangiana non � forse sempre nulla???
> Dove sto sbagliando?

Valter Moretti ha scritto:
> Non sbagli, ma � nulla solo sul moto, questo non crea problemi ai fini
> del ricavare le equazioni di Eulero-Lagrange dato che per ottener ele
> equazioni di E-L devi variare l'azione fuori dal moto.
Con questo Valter ti ha detto l'essenziale; tuttavia io credo che un
supplenteo di spiegazione sia opportuno, perche' la tua difficolta' in
realta' non ha niente a che vedere co la teoria dei campi, e
tantomento cona teoria _quantistica_; e' una difficolta a livello di
meccanica analitica.

Infatti lo stesso problema avresti potuto portelo in meccanica
analitica classica, magari non per la lagrangiana, ma certo per la
hamiltoniana.
Saprai che esiste una formualzione variazionale in cui entra la
hamiltoniana, e che d'altra parte in un sistema conservativo H e' una
costante del moto: quindi nascerebbe lo stesso problema...

O se preferisci: considera un punto materiale vincolato a muoversi su
una superficie, in assenza di forze attive.
Allora la lagrangiana si riduce alla sola energia cinetica, che in
questo caso e' costante.
Non e' zero, ma il tuo problema nascerebbe ugualmente...

Chiariamo dunque.
La lagrangiana (mecc. anal. classica) e' intesa come funzione delle
coord. lagrangiane q, delle loro derivate q' (sta per q-punto) ed
eventualmente del tempo.

L'integrale di Hamilton-Jacobi S si calcola assegnando una data legge
oraria q(t): questa determina anche le q'(t) e quindi il valore di
L(q,q',t) a ogni t.
Dunque *data la legge oraria* e' noto il valore di S (integrale di L
tra due istanti fissati).
Per questo motivo S va visto come un _funzionale_ dallo spazio delle
leggi orarie (curve parametrizzate nello spazio dellle configurazioni)
ai reali.

Il teorema di H-J ti dice che la legge oraria che soddisfa le eq. del
moto di Lagrange coincide con quella che rende _estremale_ questo
funzionale; il che vuol dire che se invece di una certa q(t) ne prendi
una vicina: d(t) + dq(t), la variazione di S si annulla _al primo
ordine_ in dq(t).

Dunque tu in partenza *non sai* se la tua q(t) sara' la soluzione
cercata: calcoli S per le leggi orarie vicine, e vedi che succede. Se
la variazione prima si annulla, hai trovato la soluzione.
Nell'esempio del moto su una superficie, scoprirai che _lungo quella
soluzione_ L risulta costante; ma solo dopo che ci avrai sostituito
dentro per q, q' le funzioni di t date dalla soluzione.
          

-- 
Elio Fabri
Received on Mon Jun 12 2006 - 21:24:34 CEST

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