rofilippi wrote:
> Sarebbe possibile un abbozzo di spiegazione nel dettaglio a riguardo?
> Inoltre: nell'effetto fotoelettrico si ha sempre la scomparsa del
> fotone o ci sono anche l� situazioni in cui fotoni cedono solo una
> parte della propria energia all'elettrone?
Sull'effetto fotoelettrico non ti saprei dire: penso sia probabile che
in una frazione dei casi (quanti, non so) ci sia una componente diffusa.
Sull'effetto ompton ti riporto pari pari quello che ho scritto per un
mio corso. Scusa il formato LaTeX:
Mettiamoci nel riferimento in cui l'elettrone \`e in riposo prima
dell'urto e scegliamo l'asse $x$ lungo la direzione di arrivo del
fotone, ed il piano $xy$ coincidente con quello definito dalle
direzioni dell'elettrone e del fotone dopo l'urto. Se $\nu$ \`e la
frequenza del fotone ed $m$ la massa dell'elettrone, le equazioni di
conservazione della quantit\`a di moto lungo $x$ e $y$ e dell'energia
danno
\begin{eqnarray*}
\frac{h\nu}{c} &=& \frac{h \nu^\prime}{c} \cos\theta + p \cos\phi\\
0 &=& \frac{h \nu^\prime}{c} \sin\theta - p \sin\phi\\
h\nu + m c^2 &=& h\nu^\prime + \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4}
\end{eqnarray*}
\noindent dove si \`e inteso che dopo l'urto il fotone possiede una
frequenza $\nu^\prime$ e si dirige ad un angolo $\theta$ rispetto
all'asse $x$, e l'elettrone possiede una quantit\`a di moto
(tridimensionale) di modulo $p$ e si muove ad un angolo $\phi$
rispetto all'asse $x$.
Abbiamo a disposizione tre equazioni per le quattro incognite
$\nu^\prime, \ \theta,\ \phi$ e $p$, potremo perci\`o esprimere una
qualunque delle incognite in funzione di una qualunque delle
altre. Solitamente si sceglie di esprimere $\nu^\prime$ in funzione di
$\theta$. Per farlo, eliminiamo $\phi$ dalle prime due
\begin{displaymath}
h\nu = h \nu^\prime \cos\theta + \sqrt{p^2c^2-h^2 \nu^{\prime 2}
\sin^2\theta}
\Rightarrow p^2c^2 =
h^2 \left( \nu^2+\nu^{\prime 2}-2\nu\nu^\prime\cos\theta \right)
\end{displaymath}
\noindent e poi eliminiamo $p$ dalla terza equazione e semplifichiamo:
\begin{eqnarray*}
\left[ h(\nu - \nu^\prime) + m c^2 \right]^2 &=&
h^2 \left( \nu^2+\nu^{\prime 2}-2\nu\nu^\prime\cos\theta \right] + m^2
c^4 \\
&\Downarrow& \\
h\nu \nu^\prime - mc^2 (\nu-\nu^\prime) &=& h\nu\nu^\prime\cos\theta
\end{eqnarray*}
Il risultato finale \`e dunque
\begin{equation}
\nu^\prime = \frac{\nu}{1 + \frac{h\nu}{mc^2}(1-\cos\theta)}
\end{equation}
Si noti che non \`e possibile avere assorbimento completo, o una
emissione, di un fotone da parte di un elettrone libero: ci\`o
corrisponderebbe a $\nu^\prime=0$, che non \`e una soluzione delle
equazioni scritte. Per poter avere tale assorbimento \`e essenziale
che l'elettrone sia in interazione con un altro corpo --- per esempio
un nucleo atomico --- con cui possa essere scambiata energia o
quantit\`a di moto.
La relazione di Compton diventa pi\`u semplice espressa in termini
delle lunghezze d'onda $\lambda$ e $\lambda^\prime$ del fotone prima e
dopo l'urto:
\begin{equation}
\lambda^\prime = \lambda + \lambda_c (1-\cos\theta)
\end{equation}
La grandezza $\lambda_c = h/mc = 2.42\ 10^{-12}$ m \`e detta {\sl
lunghezza d'onda Compton dell'elettrone}. Le variazioni di lunghezza
d'onda del fotone sono quindi dell'ordine di $\lambda_c$, e per quanto
piccole sono agevolmente misurabili per fotoni X.
Si noti che un trattamento non relativistico del
problema darebbe un risultato incoerente: la velocit\`a dell'elettrone
risulterebbe superiore a $c$.
--
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia
Received on Fri Jun 02 2006 - 17:37:55 CEST