Non riesco a capire. Il post che segue, e che ho spedito il 29, su
alcuni newsserver c'e', su altri no.
Ora provo a ritrasmetterlo da un altro server, scusandomi in anticipo
coi moderatori... Ma debbo capire!
Chicco83 ha scritto:
> Grazie per le info!
> cmq il libro e' Fisica dello Stato Solido di Adrianus J. Dekker
> ma in appendice non c'� nulla.
Non so come mai, ma in almeno due server la mia risposta non c'e'.
Per cui, per aiutare altri eventualmente interessati, la ricopio qui
sotto.
Di seguito la tua contro-risposta.
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Chicco83 ha scritto:
> Sto preparando l'esame di fisica dello stato solido, ma sul mio libro
> non ho trovato una spiegazione esauriente del significato di alcuni
> termini che ho incontrato quando parla della propagazione delle onde
> elastiche nei reticoli.
>
> In particolare non ho capito la differenza tra velocita' di gruppo,
> velocita' di fase e velocit� di propagazione.
Non so quale sia il libro che dici. Un libro ben fatto dovrebbe
spiegare queste cose, magari in un'appendice.
Cerchero' di darti qualche idea, ma succintamente, se non altro perche'
altrimenti affoghiamo nelle formule...
Intato limitiamoci a una sola dimensione spaziale: allora l'onda piu'
generale sara' una funzione di due variabili: f(x,t).
Un'onda progressiva ha la forma f(x-vt) e v e' la velocita' di fase.
In particolare, se l'onda e' monocromatica si potra' scrivere
exp[i(kx-wt)]
da cui si vede che v = w/k e' ancora la velocita' di fase.
Se il mezzo e' dispersivo, il rapporto w/k non e' costante: w e'
funzione di k ma non proporzionale a k.
La vel. di gruppo e' piu' complicata.
Richiede di definire il baricentro di u pacchetto d'onda:
xG = [\int x |f(x,t)|^2 dx] / [\int |f(x,t)|^2 dx]. (1)
La seconda espressione (che sta a denominatore) si dimostra che
ingenerale nondipende da t, ma quella a numeratore si', e si dimostra
anzi che e' funzione lineare di t:
xG(t) = xG(0) + u*t.
Questa u e' la velocita' di gruppo.
La velocita' di propagazione non so che cosa sia n questo contesto.
> Inoltre, quando si parla dell'analisi del grafico di dispersione,
> compare la relazione:
>
> vel.di gruppo= dw(k)/dk
>
> dove k � il vettore d'onda pari a 2*Pi/(lambda) e w e' la
> pulsazione.
> C'e' un metodo semplice per dimostrare la suddetta relazione?
Bisogna passare per le trasf. di Fourier. Se questo per te sia
"semplice", non lo so :)
Poniamo
f(x,0) = \int g(k) exp[ikx] dk.
Si dimostra che allora
f(x,t) = \int g(k) exp[i(kx-wt)] dk
dove w(k) e' quella definita prima per le onde monocromatiche.
Supponiamo ora che g(k) sia sensibilmente diversa da 0 solo attorno a
un valore k0 di k (pacchetto quasi monocromatico). Potremo
approssimare w(k) con
w(k0) + (k-k0)*(dw/dk)_{k=k0} = w(k0) + w'*(k-k0)
dove w' e' un'abbreviazione per (dw/dk)_{k=k0}.
Sostituendo nell'integrale:
f(x,t) = exp[i*(k0*x - w(k0)*t)] \int g(k) exp[i*(k-k0)*(x-w'*t)] dk =
= exp[i*(k0*x - w(k0)*t)] F(x-w'*t).
|f(x,t)|^2 = |F(x-w'*t)|^2.
Da questa si vede che l'inviluppo del pacchetto si sposta con la
velocita' w', e sostituendo nella (1) si potrebbe dimostrare che w'
coincide con la velocita' di gruppo u.
> E' vero che per "k" piccoli velocita' di gruppo e velocita' di fase
> tendono allo stesso valore?
Si', ma non mi chiedere di dimostrarlo... Non voglio fare notte :-)
> Cioe' che la pulsazione delle oscillazioni degli atomi w(k) si
> avvicina a quella dell'onda (pari a vel.propagazione*k)?
Questa non l'ho capita.
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Chicco83 ha scritto:
> Cerco di esprimermi meglio.Nel modello di Debye vengono presi in
> considerazione i modi normali di vibrazione delle onde elastiche che
> sono permessi in un cristallo (considerato come un continuo).
> L'equazione che si sfrutta per ricavare le frequenze permesse e' la
> solita:
>
> d^2[u(x,y,z,t)]/dx^2 + d^2[u(x,y,z,t)]/dy^2 + d^2[u(x,y,z,t)]/dz^2
>
> = [1/c^2]*d^2[u(x,y,z,t)]/dt^2
>
> dove c e' la velocita' di propagazione dell'onda elastica.
A rigore questa e' l'approssimazione per piccoli k, dove appunto c non
dipende da k (vedi sopra).
> ...
> Allo scopo ricava la funzione Z(v) che esprime il numero di modi
> normali di vibrazione ad una data frequenza v.
>
> Z(v) = 4*Pi*V*(2/c_t^3+1/c_l^3)*v^2
>
> dove V: volume del cristallo, c_t velocit� di propagazione per le
> onmde trasversali mentre c_l per quelle longitudinali.
>
> Poi ritira fuori la relazione di Planck per l'energia del singolo
> oscillatore:
>
> eps=1/(e^hv/kT-1)
Energia media...
> e dice che l'energia del reticolo � data da:
>
> E = int(da 0 a v_D)[Z(v)/(e^hv/kT-1)dv]
>
> dove v_D � la frequenza soglia di Debye.
>
> ora, sotto il segno di integrazione compare la frequenza dell'onda
> elastica e quella dell'oscillatore singolo, quindi, mi aspetto che
> questa operazione abbia un senso solo se le due frequenze coincidono.
> Mi pare pero' che in realta' questo fatto non sia vero (specialmente
> per grandi valori di k), ho pensato quindi che quell'integrale valga
> solo sotto l'approssimazione di Debye, (lecita appunto solo per
> piccoli k).
> Spero solo di aver detto poche cavolate.
Solo una, bella grossa, pero' :-)
Naturalmente non so se sia colpa tua, o del libro che non e' chiaro.
Gli oscillatori di cui sta parlando non sono i singoli atomi, che in
nessun caso potresti trattare come indipendenti, visto che sono
accoppiati tra loro.
Si tratta invece degli oscillatori associati a ciascun modo normale,
per cui l'identificazione e' proprio la cosa giusta da fare.
Tra l'altro, nota che proprio per piccoli k e' intuitivo che gli atomi
oscillano in modo collettivo: quelli vicini oscillano quasi con la
stessa ampiezza, e sempre con la stessa fase.
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Elio Fabri
Received on Wed May 31 2006 - 09:32:49 CEST