Teoremi di equipartizione

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Fri, 26 May 2006 15:37:07 GMT

                        Ho calcolato il valor medio dell'energia di un gas di fotoni e diviso per il
valor medio del numero di fotoni per lo stesso gas. Trovo un teorema di
equipartizione.
Ovvero ad ogni fotone compete mediamente un'energia pari a:

[z(4)/z(3)] (3k_bT)
                        
rispetto alla situazione classica la differenza sta solo nel fattore
z(4)/z(3) che
e' poco minore dell'unita'. Mentre il 3 k T avrebbe un'interpretazione
classica
contando per ogni fotone 6 gradi di liberta': 3 per la direzione e 2 per la
polarizzazione.

Per un sistema quantizzato con distribuzione di Boltzmann
si trova, diversamente, il caratteristico andamento non lineare nella
temperatura,
questo e' il modello di Einstein dei calori specifici per un sistema di
oscillatori
armonici quantistici indipendenti. Approssima, come noto, il teorema di
equipartizione per una distribuzione classica nel regime di alta
temperatura.

Ovvero come noto, l'esistenza di un'energia di punto zero per un sistema di
oscillatori armonici introduce un nuovo fenomeno: il congelamento dei
gradi di liberta' a basse temperature. Un gas di fotoni non risente di
questo
fenomeno e verifica un teorema di equipartizione. Analogamente questa
situazione viene ripristinata quando consideriamo le oscillazioni degli
atomi
in un reticolo cristallino. Un gas di fononi si comporta come un gas di
fotoni
e verifica un teorema di equipartizione. In un reticolo concreto esiste
un'energia
di punto zero legata alle dimensioni della cavita', ma normalmente viene
trascurata assumendo uno spettro continuo. Per i fotoni in una cavita' di
un litro l'energia di punto zero associata ai modi normali stazionari,
ammesso
che questi abbiano un qualche significato risulta data da

h / T = c h/ cT = c h/ L = 3 10^8 x (6.62 e -34)/(10^-1) = 2 e -24 Joule =
1.24 e -5 eV.

energia inferiorie alla presunta massa di un neutrino. La temperatura a cui
si dovrebbe osservare un fenomeno di congelamento dei gradi di liberta'
della radiazione di corpo nero sarebbe di circa 0.4 mKelvin. Quindi meno
della
temperatura della radiazione di fondo. Tuttavia simili scale di energia sono
prese effettivamente in considerazione da coloro che studiano il fenomeno
della condensazione di Bose Einstein.

Per un gas quantistico la situazione alle basse temperatura e'
effettivamente
che i gradi di liberta' discreti si congelano progressivamente, nell'ordine
i gradi
interni associati alle transizioni elettromagnetiche fra configurazioni
differenti
(che normalmente contano poco nel computo dei calori specifici), poi i modi
vibrazionali, poi i modi rotazionali, mentre la parte continua dello spettro
non
risente di questo fenomeno. Quando valuto l'energia interna media diviso
il numero medio di particelle trovo questa equazione:

3/2 (kT) (Polylog[ +/-5/2 z] / Polylog[ +/-3/2 z] ) - mu.

Per valori di z prossimi a zero (ovvero alte temperature)
trovo il comportamento classico. Per valori di z piccoli
occorrono alcune discussioni. Qui il + vale per i bosoni
ed il - per i fermioni. Quello che mi piacerebbe e' trovare
una formulazione univalente del teorema di equipartizione.
In cui i fattori siano visti come vincoli. Esiste qualcosa del
genere? Noto che se avessimo considerato un valore di
k pari al doppio di quello effettivamente considerato avremmo
ottenuto kT come quanto di energia termica. Il 3/2 tuttavia ha
storicamente origine dalla relazione che lega PV=nRT all'energia
interna di un gas perfetto. E = 3/2 nRT. Cio' che svela il numero di
dimensioni spaziali e' in questo caso il numero 3. Mentre 1/2
e' quello che trae origine dalla preminenza storica dell'equazione
di stato. L'idea sarebbe quella di interpretare i fattori come
fattori dimensionali dello spazio delle fasi. Spero di riuscire
a trovare un argomento che sostanzi questa intuizione, ma
se qualcuno ci avesse gia' pensato ed io non lo sapessi...



 

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Received on Fri May 26 2006 - 17:37:07 CEST

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