Re: Alcune definizioni mecc. ondulatoria

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Fri, 26 May 2006 21:00:25 +0200

Chicco83 ha scritto:
> Sto preparando l'esame di fisica dello stato solido, ma sul mio libro
> non ho trovato una spiegazione esauriente del significato di alcuni
> termini che ho incontrato quando parla della propagazione delle onde
> elastiche nei reticoli.
>
> In particolare non ho capito la differenza tra velocita' di gruppo,
> velocita' di fase e velocit� di propagazione.
Non so quale sia il libro che dici. Un libro ben fatto dovrebbe
spiegare queste cose, magari in un'appendice.
Cerchero' di darti qualche idea, ma succintamente, se non altro perche'
altrimenti affoghiamo nelle formule...

Intato limitiamoci a una sola dimensione spaziale: allora l'onda piu'
generale sara' una funzione di due variabili: f(x,t).
Un'onda progressiva ha la forma f(x-vt) e v e' la velocita' di fase.
In particolare, se l'onda e' monocormatica si potra' scrivere

exp[i(kx-wt)]

da cui si vede che v = w/k e' ancora la velocita' di fase.
Se il mezzo e' dispersivo, il rapporto w/k non e' costante: w e'
funzione di k ma non proporzionale a k.

La vel. di gruppo e' piu' complicata.
Richiede di definire il baricentro di u pacchetto d'onda:

xG = [\int x |f(x,t)|^2 dx] / [\int |f(x,t)|^2 dx]. (1)

La seconda espressione (che sta a denominatore) si dimostra che
ingenerale nondipende da t, ma quella a numeratore si', e si dimostra
anzi che e' funzione lineare di t:

xG(t) = xG(0) + u*t.

Questa u e' la velocita' di gruppo.
La velocita' di propagazione non so che cosa sia n questo contesto.

> Inoltre, quando si parla dell'analisi del grafico di dispersione,
> compare la relazione:
>
> vel.di gruppo= dw(k)/dk
>
> dove k � il vettore d'onda pari a 2*Pi/(lambda) e w e' la
> pulsazione.
> C'e' un metodo semplice per dimostrare la suddetta relazione?
Bisogna passare per le trasf. di Fourier. Se questo per te sia
"semplice", non lo so :)

Poniamo

f(x,0) = \int g(k) exp[ikx] dk.

Si dimostra che allora

f(x,t) = \int g(k) exp[i(kx-wt)] dk

dove w(k) e' quella definita prima per le onde monocromatiche.

Supponiamo ora che g(k) sia sensibilmente diversa da 0 solo attorno a
un valore k0 di k (pacchetto quasi monocromatico). Potremo
approssimare w(k) con

w(k0) + (k-k0)*(dw/dk)_{k=k0} = w(k0) + w'*(k-k0)

dove w' e' un'abbreviazione per (dw/dk)_{k=k0}.
Sostituendo nell'integrale:
Received on Fri May 26 2006 - 21:00:25 CEST