Re: questa strana corrente di spostamento

From: bruno il pasticcere <amcova_at_gmail.com>
Date: 11 May 2006 07:54:22 -0700

La chiarezza non � il mio forte, scusa, forse perch� fatico a capire
anch'io queste cose...


facciamo TABULA RASA


un risultato notevole � che se hai un condensatore fatto da piatti
conduttori e la corrente che li carica � costante, allora hai un
comportamento molto semplificato con cui la corrente di spostamento si
vede bene, e visto che la corrente � costante non ci sono onde
elettromagnetiche.


In generale tu hai il tuo condensatore, che in condizioni statiche �
un sistema tale che se metti una carica +q su un piatto e una -q
sull'altro, si forma un campo elettrostatico proporzionale a q.

E(x,y,z)=q*f(x,y,z)

Una propriet� importante del campo elettrostatico che parte dai
conduttori � questa: il flusso di E attraverso una superficie "bucata"
da tutte le linee del campo � sempre q/epsilon.

Ora se la tua corrente � costante e pari a i, il campo avr� una forma
abbastanza semplice:

E(x,y,z,t)=q(t)*f(x,y,z)

dE/dt=dq/dt*f(x,y,z)=i*f(x,y,z)

dove f(x,y,z) l'abbiamo vista prima nel caso statico.

Il campo elettrico variabile quindi � proporzionale al campo che si
avrebbe in condizioni statiche, dove la carica q per� varia
linearmente nel tempo.

Ora dato che questa forma di campo elettrico variabile � proporzionale
al campo statico, si ha che il campo � conservativo.

Quindi la circuitazione di E � nulla per qualsiasi curva chiusa,
quindi B non varia rispetto al tempo (legge di faraday-lenz).

Ora vediamo come calcolare B:

ci sono zone al di fuori del condensatore per cui il campo elettrico �
nullo, mentre c'� una densit� di corrente. Prendi quindi una curva
chiusa per cui la superficie delimitata � completamente al di fuori
delle due armature del condensatore, e che contiene tutto il filo
conduttore attraverso cui passa la corrente (ossia contiene tutte le
linee di flusso del vettore densit� di corrente).

La circuitazione ti viene pari a mu*flusso(J)=mu*i

Ma nota una cosa: il teorema di ampere stabilisce che la circuitazione
su una curva "C" � pari al flusso di J attraverso una superficie S
QUALSIASI che abbia come contorno quella curva C. Allora potrei
prendere una superficie S' che non viene bucata da nessun vettore
densit� di corrente, e che passa per lo spazio tra le due armature, e
che ha come contorno proprio C!

Se usassi quindi il teorema di ampere per la magnetostatica usando S'
come superficie, mi verrebbe circuitazione nulla su C, mentre sulla
stessa curva C avevo circuitazione mu*i!!

Ci dev'essere qualche errore nella legge di ampere...ma se introduci la
correzione che la circuitazione di B non � pari solo a mu*flusso(J),
ma pari a mu*flusso(J+epsilon*dE/dt), allora i conti tornano!

Infatti flusso(epsilon*dE/dt in S') � pari a d(epsilon*flusso(E in
S'))/dt, ossia epsilon*dq/dt*1/epslion=dq/dt


Cosa significa questo? Significa che anche se le linee di flusso della
corrente apparentemente si interrompono, le linee di flusso di
J+epsilon*dE/dt sono invece sempre chiuse....
il campo B � analogo a quello che si avrebbe se ci fosse una
distribuzione di corrente stazionaria pari a J+epsilon*dE/dt.

Dove J � assente, le linee vengono continuate da dE/dt.

Dalla conservazione della carica elettrica si ha che flusso(J)
attraverso una superficie chiusa � pari a -d(carica dentro la
superficie)/dt.
Dalle equazioni di Maxwell si ha che flusso di epsilon*dE/dt=dq/dt

Quindi la somma di J e epslion*dE/dt ha sempre flusso nullo attraverso
una superficie chiusa.

La soluzione di questo caso � giusta perch� rispetta tutte le
equazioni di maxwell: J e dE/dt sono costanti nel tempo: la
circuitazione di B � costante nel tempo. Il flusso di B � sempre
nullo, per cui deduciamo dalla costanza nel tempo di circuitazione e
flusso che anche B � costante nel tempo.
Se B � costante nel tempo anche il suo flusso attraverso una
superficie lo sar�, quindi la circuitazione di E sar� sempre nulla, e
questo � coerente col campo ipotizzato, che era appunto conservativo.
Il flusso del campo E attraverso una superficie chiusa � pari alla
carica contenuta diviso epsilon (anche se questa carica � variabile
nel tempo)...voil�, abbiamo rispettato tutte le equazioni di Maxwell.

E' importante notare per� che la soluzione era semplice perch�
abbiamo ipotizzato che la corrente fosse costante!

Il flusso di E attraverso una superficie chiusa
Received on Thu May 11 2006 - 16:54:22 CEST