Sandro kensan ha scritto:
> Ok, allora secondo te � questo il problema, le formule sono corrette?
Le formule non le avevo neanche lette, perche' avevo visto
subito che le condizioni al contorno erano scorrette, ora
le ho lette e vedo che non sono applicabili in questo caso.
> Ok, allora la formula 2)
> http://www.kensan.it/tmp/formule.gif
> per qualsiasi N finito � una approssimazione di Qrate/DeltaT (formula
> 1) anzi � una approssimazione inferiore, giusto?
Non puo' mai essere una buona approssimazione perche' noi
sappiamo che il calore trasmesso diverge, mentre la formula
da' un valore finito per ogni N, il problema sorge nell'applicare
la formula in prossimita' dello spigolo ove il termine sommato
(n = 1) dovrebbe divergere mentre l'approssimazione risulta allora
troppo grossolana, e' necessario quindi passare al limite per
N -> +oo (cioe' sostituire alla sommatoria un integrale) e
naturalmente l'integrale cosi' ottenuto diverge.
Per ovviare al problema della divergenza si devono
cambiare le condizioni al contorno, ad es. supponiamo
che la sezione trasversa S dello stipite corrisponda a
1/4 della corona circolare compresa tra il raggio interno
r_0 > 0 e quello esterno r_1, allora e' lecito imporre le
condizioni al contorno per cui la temperatura e' uniforme
sui due lati rettilinei del bordo di S ove assume valori T_1
e T_2 > T_1 e per cui la temperatura e' una funzione affine
dell'angolo al centro teta sui due lati curvilinei, allora la
potenza termica trasmessa vale (l = altezza dello stipite,
lambda = conducibilita' termica del materiale omogeneo):
P = (T_2 -T_1) * int_{r_0}^{r_1} (l*lambda / (Pi*r/2)) dr
= 2 / Pi * (T_2 -T_1) * l * lambda * log(r_1 / r_0),
come previsto P tende a 0 se r_1 -> r_0 e tende a +oo
se r_0 -> 0+ o se r_1 -> +oo.
Si sarebbe anche potuto eseguire un calcolo approssimato
utilizzando una sommatoria del tipo che hai scritto in precedenza,
ma ovviamente in questo caso non ne sarebbe valsa la pena,
dato che si fa prima e meglio a integrare.
Nota: penso che applicando questo tipo di calcolo allo stipite
reale non si possa sperare di ottenere niente di piu' che l'ordine
di grandezza della potenza termica trasmessa, dato che la
geometria non e' la stessa, il materiale non e' omogeneo e
non e' nota esattamente la conducibilita' termica, le condizioni
al contorno effettive saranno diverse da quelle ipotizzate.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Mon Mar 19 2012 - 14:08:59 CET
