Il 09 Mar 2006, 22:38, "Bruno Cocciaro" <b.cocciaro_at_comeg.it> ha scritto:
> "Tetis" <gianmarco100_at_inwind.it> wrote in message
> news:155Z185Z13Z37Y1141843401X25472_at_usenet.libero.it...
>
> > Il punto delicato e' che il fattore di proporzionalita' risente del
> > paradosso di Gibbs
>
> potresti spiegare per favore cosa dice questo paradosso di Gibbs?
> Mi sa che sta qua la questione che non ho capito rigurdante il fatto che
la
> non determinazione del volume della celletta costituiva un problema per la
> statistica classica.
Non direi che sta li'. In accordo alla statistica di Boltzmann lo spazio
delle fasi di due particelle e' uno spazio a 12 dimensioni. 6 per la
prima particella 6 per la seconda particella. Se facciamo una partizione
comune per ciascuno di questi sottospazi, poniamo di frazionare in
due parti: J,K lo spazio 6-dimensionale. In tal caso alla distribuzione
n_J=1 n_K=1 corrisponde il volume di fase [2V(J)][2V(K)] = 4 V(J)V(K).
Nella statistica di bose invece le regole di superselezione dovute
al teorema di spin statistica riducono il volume di fase a V(J)V(K).
O se vuoi la diversa descrizione in termini di funzioni d'onda
simmetrizzate riducono, state la simmetrizzazione la misura di volume.
Quindi e' la natura della descrizione degli stati del sistema che fa
la differenza fra avere il paradosso di Gibbs e non averlo.
ENTROPIA DI UN GAS PERFETTO
Rimaniano nel caso di descrizione classica e consideriamo un
gas perfetto. Fissiamo anche il volume delle cellette elementari,
quindi calcoliamo il volume di fase per gli stati di energia complessiva
minore di E in termini di elementi di volume h^(3N) contenuti:
PSV(E)/h^(3N). L'integrale di volume si fattorizza e porta a
V^N il volume nello spazio degli impulsi e' quello di una sfera di
raggio R(E) = sqrt(Sum_i pi^2) = sqrt((2m)xSum_i (pi^2/2m)) = sqrt( 2mE).
Puoi consultare questa pagina:
http://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html
per riconoscere che il volume di questa ipersfera risulta
(combinando la 4 e la 9) pari a:
PSV(E) = 2pi^(3N/2)/Gamma(3N/2+1) (2mE)^(3N/2)
allora il volume di fase, in termini di unita' di h^3 e':
2pi^(3N/2)/Gamma(3N/2+1) (2mE)^(3N/2) V^(N) / (h^(3N-3/2)).
Quello che importa a noi e' pero' un guscio di energia E,
il suo volume di fase e' la superficie della sfera, come risulta
dalla formula 9 del link di cui sopra moltiplicato per dR/dE
oppure direttamente la derivata rispetto ad E della formula
che abbiamo scritto sopra, :
W = (2m) (3N/2) x 2pi^(3N/2)/Gamma(3N/2+1) (2mE)^(3N/2-1) V^(N) /
(h^(3N-3/2))
allora l'entropia risulta dal logaritmo della probabilita' di occupare una
di queste W cellette, cambiata di segno:
S(E,V) = H(E,V) = - k ln(1/W) = k ln(W) =
= k {ln((2m) (3N/2)) + ln(2pi^(3N/2)/Gamma(3N/2+1))
+ Nln(V/h^3) + (3N/2-1) ln((2mE)} ~ =
~ = k {ln((2m) (3N/2)) + (3N/2)ln(pi)-3N/2 ln(3N/2) + 3N/2
+ Nln(V/h^3) + (3N/2-1) ln((2mE)}
Dove ho usato le regole ln(ab) = ln(a) + ln(b) e la formula di
Stirling per approssimare Gamma(3N/2+1) mentre ho lasciato
da parte i termini che non dipendono da N.
Riassemblando:
S(E,V) ~ (3/2) Nk ln{[(4\pi m/3h^2) E/N] + Nk ln(V) + (3/2) Nk + ln(3mN)
nel limite termodinamico possiamo trascurare l'ultimo termine che e'
logaritmico (il che significa che nel limite termodinamico il numero di
cellette sulla superficie della sfera e quello nell'intera sfera danno luogo
pressoche' alla stessa media rispetto ad N nota importante per comprendere
la stabilita' dell'equilibrio termodinamico in questo sistema). Se chiamiamo
eps l'energia media di singola particella ed s_o l'entropia associata con
3/2Nk e con 3/2Nk ln(4\pi m/3h^2) assume la forma:
S(E,V) = Nk ln(V eps^(3/2)) + N s_o
PARADOSSO DI GIBBS
Consideriamo due gas ideali con N particelle ciascuno tenute
in due volumi V separati da un setto. Se ora rimuoviamo il setto
e permettiamo il miscelamento dei due gas otteniamo un gas di
2N particelle in volume 2V applicando la formula ricavata alla
fine di tutte le peripezie del paragrafo precedente risulta che
l'entropia vale:
S(2E,2V) = 2Nk ln(2V eps^(3/2)) + 2N s_o = 2S(E,V) + 2 N k ln(2)
c'e' quindi un aumento di entropia nella misura 2N k ln(2) che
e' resistente al limite termodinamico. Se mescoliamo due gas
distinti questo termine ha una spiegazione termodinamica
e si chiama entropia di mescolamento, ma se i due gas sono
uguali non ha ragione d'essere. L'entropia termodinamica
deve essere una funzione additiva. Bene, si scopre che un
conteggio degli stati in accordo alla ipotesi di indistinguibilita'
quantistica ripristina, nel limite termodinamico, l'additivita'
dell'entropia.
Si scopre anche che nel caso del limite termodinamico
l'energia del gas che per il caso di Boltzmann prende la
forma 3/2 k T dove T e' la temperatura, e quindi per T che
tende a zero l'entropia tende a -OO. Il che non si verifica
piu' se adoperiamo il conteggio quantistico degli stati.
Quello su cui influisce l'esistenza di un volume simplettico quantizzato
e' un'altra questione: se guardi il termine s_o che abbiamo trovato,
questo dipende dalla costante di Planck, specificatamente possiamo
isolare un termine:- 3k ln(h). Se la partizione dello spazio delle fasi e'
arbitraria, anche il volume di fase associato con una data distribuzione
viene a dipendere dalla partizione. Facciamo un esempio diretto per
esplicitare la ragione di questo termine:
Partiamo sempre con la partizione (J,K) e sia anche, per semplicita',
V(J)=V(K): consideriamo la distribuzione n(J)=n(K)=N/2=10^5.
Allora gli stati di Boltzmann hanno il volume:
[2^(N/2) V(J)] x [2^(N/2) V(K)] = 2^N V(J) V(K)
se consideriamo ora una partizione in quattro frazioni
(J,J',K,K') di uguale volume e consideriamo ancora l'equidistribuzione
n(J)=n(J')=n(K)=n(K')=N/4 in tal caso il volume di fase e' dato da:
[4^(N/4) V(J)] x [4^(N/4) V(J')] [4^(N/4) V(K)] x [4^(N/4) V(K')]=
= 4^(N-1) V(J) V(K). Quindi la probabillita' della distribuzione uniforme
risulta diminuita, nel secondo caso, di un fattore 4/(2^N). E l'entropia
e' quindi proporzionale a - N ln( volume_elementare ).
> Ciao.
> --
> Bruno Cocciaro
> --- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
> --- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
> --- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
>
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Inviato via
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Received on Fri Mar 10 2006 - 13:52:35 CET