Luca Andreoli ha scritto:
> ok ,non deve aver per forza un valore intero, ma in ogni caso essendo
> sempre v < di c oppure al massimo v = c , come viene fuori che z possa
> assumere valori 3-4-5 ?
Va bene Luca, facciamo cosi'. Ora trascrivo qui di seguito cio' che
avevo scritto il 22-3-04, con alcune correzioni, dovute soprattutto a
un intervento di Aleph, che ringrazio di nuovo.
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Partiamo dal "parametro di scala" a(t): possiamo vedere questo appunto
come il "fattore di dilatazione" dello spazio.
Questo a(t) e' funzione del tempo (cosmico), per convenzione vale 1 al
tempo presente, ed era minore di 1 in passato.
Supponiamo di conoscere quanto vale per ogni t: per il modello
cosmologico attualmente accettato la funzione a(t) ha un'espressione
piuttosto complicata di cui possiamo fare a meno.
Resta il fatto che e' ben nota.
Per es. per t = 470 megaanni, a(t) vale 1/11.
Infatti a(t) e' immediatamente legato al redshift: si dimostra che
a(t) e' proprio il rapporto fra l. d'onda della luce emessa e l.
d'onda ricevuta.
Sarebbe bene imparare questo fatto, e dimenticare la legge di Hubble
(che e' solo una prima approssimazione) e la spiegazione in termini di
effetto Doppler (che e' semplicemente sbagliata).
Dato che z e' per definizione (l.ric. - l.emessa)/l.emessa, e' facile
vedere che z+1 = 1/a: ecco perche' ho scritto 1/11, dato che sappiamo
che z=10 corrisponde appunto a t=470 megaanni.
Ora un altro punto fermo: prendiamo un sistema di coordinate (dette
"comoventi", con una sola "m"), con l'origine dove siamo noi.
Possiamo limitarci a una sola dimensione, e chiamo x la coord. comov.
di un'altra galassia.
Per definizione di parametro di scala, la distanza di quella galassia
al tempo t e'
D(x,t) = a(t)*x (1)
e cambia col tempo solo perche' cambia a, non x. In questo senso le
galassie sono *ferme*, sebbene le loro distanze cambino...
Terzo punto: non ha nessun senso parlare di velocita' relativa a noi
di una galassia lontana, perche' la definizione di velocita' richiede
delle condizioni che non sono quelle dell'Universo: un sistema di
riferimento *rigido* al quale riferire i moti.
Cio' non toglie che la distanza cambia, e quindi si puo' anche parlare
di variazione delle distanza nel tempo: ma e' assai consigliabile non
chiamarla "velocita'".
Si puo' anche calcolare quanto vale questa "variazione": basta sapere
come varia a(t) nel tempo.
La formula per il modello oggi prevalente e' questa:
da/dt = H*a*sqrt(0.7 + 0.3/a^3) (2)
(valida per a >> 10^(-4)). Qui H e' la costante di Hubble, che prendo
70 km/s/Mpc.
Esercizio: quanto vale oggi dD/dt per la galassia che oggi ha D=31 Gal?
(Qui e in seguito abbrevio "miliardi di anni luce" con Gal, che non e'
una notazione standard.
Invece Gpc per gigaparsec = miliardi di parsec e' standard.)
Oggi a=1, e la (2) dice da/dt = H.
Per la famosa galassia x = 31 Gal = 9.5 Gpc, e allora per la (1)
dD/dt = H*x = 6.7*10^5 km/s.
Invece quando la luce e' partita (a=1/11) si trova
dD/dt = 1.2*10^6 km/s.
Per calcolare quanto tempo impiega la luce, si farebbe cosi':
la luce va sempre alla velocita' della luce, quindi nell'intervallo
fra t e t+dt percorre uno spazio c*dt. Questo corriaponde a una
variazione della coordinata x, data da
a(t)*dx = c*dt.
Ma per la (2)
dt = (1/H)*(da/a)/sqrt(0.7 + 0.3/a^3)
e quindi
dx = (c/H)*(da/a^2)/sqrt(0.7 + 0.3/a^3).
Integrando questa si ottiene x in funzione di a e quindi anche di t,
visto che a(t) e' nota: x = f(t).
Invertendo questa funzione si ottiene t per un dato x, che risolve il
problema.
Purtroppo il tutto non e' proprio semplice, anche perche' c'e' di
mezzo la funzione a(t) di cui non posso dare una formula.
Ma i concetti base sono piuttosto semplici.
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La mia prima domanda a Luca e' questa: ma quanto c'e' scritto qui
sopra, tu lo riesci a capire o no?
Se si', c'e' dentro la risposta a quello che hai chiesto (fra poco te
lo evidenzio).
Se no, avresti dovuto gia' due anni fa fare qualche richiesta
specifica; ma sei sempre a tempo, col vantaggio che ora sei un po'
cresciuto :-)
In particolare ti ricopio ancora una volta un brano:
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Per es. per t = 470 megaanni, a(t) vale 1/11.
Infatti a(t) e' immediatamente legato al redshift: si dimostra che
a(t) e' proprio il rapporto fra l. d'onda della luce emessa e l.
d'onda ricevuta.
Sarebbe bene imparare questo fatto, e dimenticare la legge di Hubble
(che e' solo una prima approssimazione) e la spiegazione in termini di
effetto Doppler (che e' semplicemente sbagliata).
Dato che z e' per definizione (l.ric. - l.emessa)/l.emessa, e' facile
vedere che z+1 = 1/a: ecco perche' ho scritto 1/11, dato che sappiamo
che z=10 corrisponde appunto a t=470 megaanni.
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(Per completezza ricordo che Aleph mi fece allora notare che la legge
di Hubble intesa come dD/dt = H*D vale sempre. il che e' vero: essendo
D = a*x con x costante, e' ovvio che
(1/D)*(dD/dt) = (1/a)*(da/dt) = H (per definizione di H).
Allora gli risposi che a me non piace questa interpretazione della
legge di Hubble; il motivo e' che porta a vedere dD/dt cone
"velocita'", il che fa nascere proprio il problema di Luca, visto che
dD/dt puo' tranquillamente essere > c.
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Elio Fabri
Received on Fri Mar 10 2006 - 21:08:15 CET