Il 02 Mar 2006, 21:12, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Avrei un certo numero di cose da dire...
> Cominciamo con Tetis, che ha scritto:
> > Se mi posso permettere di aggiungere qualcosa alle parole di un
> > esperto della materia vorrei osservare che questa dell'orizzonte degli
> > eventi e' una delle situazioni piu' controintuitive della relativita',
> > ed esaspera alcuni aspetti gia' presenti nella relativita' ristretta,
> > ma che in quel contesto non vengono mai nemmeno sfiorati, se non forse
> > nel caso delle coordinate di Rindler, come fa notare lo stesso
> > Rindler.
> Hai ragione sul carattere controintuitivo.
> Quanto alla RR, stai parlando di cio' che si vede in un rif.
> accelerato, ed e' vero che Rindler vi ha posto giusta enfasi: infatti
> spesso si parla di "spazio di Rindler", per quanto impropriamente, per
> la metrica scritta nel sistema di coord. adatte a un rif. in accel.
> uniforme (moto iperbolico).
Esatto, c'e' una certa analogia, ma la metrica di Rindler e'
pur sempre una mappa parziale di uno spazio tempo piatto,
anche se quando ci si avventura nel campo delle estensioni
pure la metrica di Schwartzschild riserva le sue meraviglie
all'indagatore curioso. La mappa di Kruskal fu una specie di
choc ai suoi tempi. Visto che comparivano due regioni di spazio
tempo ulteriori oltre che interno ed esterno.
> Non so se hai mai visto i miei appunti di RG: ci dedicavo adeguata
> attenzione, proprio perche' costiuisce un'utile introduzione al
> fenomeno dell'orizzonte, e anche perche' permette di mostrare che la
> geometria intrinseca e' quella che e', e i fenomeni fisici pure, anche
> se la descrizione puo' cambiare parecchio a seconda del rif.
Si certo che ho visto ed in parte anche studiato i tuoi appunti.
> > La situazione controintuitva e' che sebbene il tempo proprio degli
> > oggetti in caduta libera possa continuare ad evolvere fino a
> > singolarita' raggiunta, il che segna una finitezza del tempo in quella
> > regione dello spazio tempo, ...
> Che e' un possibile modo di definire la singolarita': l'esistenza di
> geodetiche di lunghezza _finita_.
Cosa che del resto manca affatto nell'estensione della
mappa di Rindler.
> > ... se un osservatore esterno si limita a registrare il tempo
> > dell'orologio dell'osservatore in caduta libera
> > ...
> > quello che succede in questo caso e' che vedra' concretizzarsi un
> > autentico paradosso di Zenone.
> Questo invece non mi piace, per piu' motivi.
> 1) Andrebbe definito con chiarezza che cosa significa che un
> "osservatore" "registra il tempo" ecc.
Si l'imprecisione pero' e' facilmente colmabile:
intendevo che l'orologio in caduta comunica il proprio
tempo e che l'osservatore lontano annota su un
taccuino il tempo trasmesso ed il tempo
in cui lo riceve. Lo comunica in continuo, e' ideale
in questo: che in pratica converra' scegliere un tempo
di clock per la trasmissione codificata.
> Si puo' definire un esperimento ideale, in cui l'oggetto in caduta
> libera emette segnali a intervalli costanti nel suo tempo proprio.
> La domanda e': a quali tempi raggiungono un rivelatore fermo (a r
> costante)?
>
> > Il segnale emesso dal sistema in caduta libera nel momento d'entrata
> > nell'orizzonte degli eventi non sara' mai osservato, ma saranno
> > osservati tutti gli istanti precedenti in una dilatazione senza fine.
> Vero.
> E come osservavi sopra, la stessa cosa succede nel rif. accelerato di
> Rindler.
Certo.
> > Piu' o meno si potrebbe costruire una tabellina che avra' un aspetto
> > simile alla seguente.
> 2) Come hai costruito la tabellina non l'ho capito.
> Comunque non vedo che cosa c'entri Zenone: l'oggetto in caduta
> raggiunge e supera l'orizzonte in un tempo proprio finito.
> Ma anche se ti vuoi riferire al tempo t di Schwarzschild, che va a
> infinito all'orizzonte, Zenone non c'entra perche' qui la dr/dt va a
> zero, mentre Achille mica rallenta...
Una cosa per volta: da una parte l'obiezione e' molto sensata,
pero' si puo' dire che anche in questo caso Achille non rallenta.
Il punto paradossale del paradosso di Zenone e' ottenuto proprio
con l'invenzione di un tempo complementare. Una sorta di tempo
psicologico che corrisponde al conteggio delle tappe intermedie.
In questo caso quello che era un tempo psicologico e' oggettivo,
nel senso che e' il tempo a cui giunge la comunicazione del raggiungimento
di una fase intermedia.
Quanto al modo in cui ho costruito la tabella e' solo indicativo
e manca, di ogni riferimento quantitativo. Ho ragionato a partire
dall'osservazione che nei pressi dell'orizzonte dr/dtau e' circa
costante. Ma poi ho commesso un errore di pregiudizio, ho usato
un redshift come il fattore (1-1/r). Mentre in verita' il tempo di
pervenimento
del segnale emesso da r0 al tempo t0, giunge in r al tempo t in accordo
alla formula t = t0 + (r(t)-r0) + ln[(r-1)/(r0-1)].
Quindi procedevo in questo modo, sbagliato: incrementavo delta_t
e andavo ad incrementare delta_tau come l'inverso di delta_t.
Invece in accordo alla formula esatta occorre procedere in altro
modo: supponiamo che tau_o sia il tempo proprio in cui l'orologio
in caduta libera giunge all'orizzonte degli eventi, mentre supponiamo
sia in r al tempo proprio zero l'incremento t(tau) se poniamo t(0)=0
si ottiene t(tau) = ln ( tau_o/(tau_o-tau)) a meno ovviamente di fattori
che come sottolinei poi possono anche essere molto consistenti.
Avvertiti di questo un modo di costruire la tabella in modo indicativo
puo' essere contare gli zeri del numero tau_o / (tau_o-tau) e quindi
andare ad incrementare t di quel numero di zeri. Per esempio:
Osservatore sonda
0 sec 0 sec
1 sec 1-1/10 sec
2 sec 1- 1/100 sec
.....
100 sec 1-1/10^100 sec.
in altre parole l'orizzonte viene raggiunto piuttosto alla svelta.
Detto cio' quello che continuo a trovare problematico e' il
fatto che per trattare la situazione inversa (la sonda riceve i
segnali emessi dalla stazione) devo distinguere, almeno
in coordinate di Schwartzschild fra interno ed esterno, mentre
per le coordinate di Kruskal la trattazione e' appesantita dal fatto
che non e' evidente l'esistenza di un campo di Killing. Infatti
entrambi gli impulsi coniugati ad u, come a v non sono conservati
separatamente, solo la loro combinazione corrispondente all'impulso
coniugato al tempo risultera' conservata. Ragionando in coordinate
di Schwartzschild trovo da integrare questa coppia di equazioni:
r' = sqrt( 1/r - 1/r0)
t' = pt /(1-1/r)
per ottenere queste equazioni ho considerato la conservazione
del tempo proprio e non ho fatto uso del parametro affine libero,
ma l'ho scelto, avvalendomi della liberta' concessa dalla
omogeneita' dell'equazione, uguale esattamente al tempo
proprio.
Per la luce invece non posso basarmi sul tempo proprio perche'
la lagrangiana si annulla per definizione, quindi ritrovo solo un
vincolo fra r e t. Qui emerge la difficolta' che dicevo: dal fatto che L=0
trovo che:
(t')^2 = [r'/(1-1/r)]^2.
che integro separatamente fra la zona interna ed esterna.
Non posso fare altrimenti perche' si annulla il denominatore
a secondo membro.
Domanda: come si accordano queste due soluzioni?
Ovvero se la luce parte al tempo t = 0 da r0>1 quando
arriva in r<1?
Mi ricordo vagamente di un trucchetto proposto da
Shulmann, Wheeler e che forse si trova anche sul libro
di Ciufolini (che pero' guardava ad altri aspetti). Il trucco
consiste nel fissare il parametro affine in qualche modo.
Shulmann spiega la storia coinvolgendo i path integral e
che Wheeler fa riferimento alla gauge ed alla dinamica
di formazione del Black Hole. Ma e' necessario
scomodare tutto questo? O basta una trattazione vincolata.
Grazie.
> Questo esempio nelle mie lezioni lo trattavo ampiamente, perche' e' un
> esercizio non difficilissimo ma alquanto complesso, che richiede di
> padroneggiare bene il significato delle coordinate, della metrica, la
> relazione con le grandezze osservabili...
> Trattavo anche un problema piu' fisico: se l'oggetto che cade e' una
> sorgente che emette con intensita' costante e isotropa (nel suo
> riferimento) come varia nel tempo la luce che raggiunge un telescopio
> fermo molto lontano?
> E' utile anche dal punto di vista degli ordini di grandezza: si
> dimostra che la luce ricevuta non si annulla mai, ma decade
> esponenzialmente, con costante di tempo che per un buco mero di massa
> solare vale - se ricordo bene - 10 microsecondi.
Mi hai fatto venire la curiosita' di costruire una tabellina con:
masse,
raggio di schw.,
tempo raggiungimento della singolarita',
tempo di attenuazione
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http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Fri Mar 03 2006 - 18:07:07 CET