Re: Il relativismo dell'entropia

From: Bruno Cocciaro <b.cocciaro_at_comeg.it>
Date: Tue, 7 Mar 2006 14:10:35 +0100

"Giorgio Pastore" <pastgio_at_univ.trieste.it> wrote in message
news:440CC54A.8090601_at_univ.trieste.it...
>
>
> Bruno Cocciaro wrote:
[...]
> ...Trovo che
> > W e' massimo e che K*log(W) e' legato in un certo modo alle altre
variabili
> > di stato. Se sono all'equilibrio W e' massimo.
>
> Qui c'e' il primo punto delicato. Massimo rispetto a che ? Se li conti
> ti viene un numero. E basta.

Si', ma io con massimo intenderei massimo rispetto ai possibili valori che
potrei ottenere compatibilmente ai vincoli fissati:
numero totale di particelle=N,
energia interna = U = (3/2) * N * K * T se siamo in uno stato di equilibrio
(cioe' se ha senso la variabile macroscopica T),
volume del contenitore=V= volume del gas se lo stesso e' all'equilibrio
(altrimenti il gas potrebbe anche occupare solo un parte del contenitore).
I vincoli sarebbero N, U e V anche qualora il gas non fosse all'equilibrio,
cioe' il numero di molecole e' comunque quello, la loro energia pure, cosi'
come il volume del contenitore.

La questione che pongo e':
immaginiamo che sia "leggibile" lo stato microscopico. Da tale lettura
possiamo inferire qualcosa di sensato riguardo all'equilibrio macroscopico?
La "lettura" dello stato microscopico avviene tramite "occhiali" di
risoluzione Dx, Dy, Dz, Dpx, Dpy, Dpz. Possiamo scegliere gli occhiali che
vogliamo e la domanda appena posta assume allora la forma: quali sono gli
occhiali migliori?
Migliori occhiali = gli occhiali che meglio di altri ci permettono di
inferire qualcosa di sensato riguardo all'equilibrio macroscopico (per tutti
gli occhiali di qualunque tipo si pone il problema di scegliere i "migliori
rispetto a cio' che vorremmo leggere": con un microscopio vedo le molecole
dell'inchiostro ma non leggo le pagine del libro, con un "microscopio al
contrario" nel mio campo visivo entra oltre al libro anche il tavolo la
stanza e tutto il panorama attorno e nuovamente non riesco a leggere le
pagine del libro).

Puo' darsi che sia io a non capire, pero' ho anche un po' di dubbio che
potrebbe non essere ancora chiarissimo quello che vorrei dire.
Faccio alcuni esempi.
Scelgo Dx, Dy, Dz, Dpx, Dpy, Dpz nella seguente maniera:
Dx = Dy = Dz = (V/N)^(1/3),
Dpx = Dpy = Dpz = 6 * (2*m*U/N)^(1/2)
cioe' scelgo la celletta molto risoluta nello spazio delle posizioni e molto
poco risoluta nello spazio delle quantita' di moto.
Una generica celletta dello spazio delle fasi e' definita dalla 6-pla
(i,j,k,l,m,n) di numeri naturali e, nel leggere lo stato microscopico, ci
chiediamo quale e' il numero di occupazione associato a ciascuna 6-pla.
n(i,j,k,l,m,n) = numero di particelle che hanno posizione (x,y,z) tale che
(i-1)*Dx<x<i*Dx,
(i-1)*Dy<y<i*Dy,
(i-1)*Dz<z<i*Dz,
e hanno quantita' di moto (px,py,pz) tale che
(i-1)*Dpx<px<i*Dpx,
(i-1)*Dpy<py<i*Dpy,
(i-1)*Dpz<pz<i*Dpz.
Quando dico che abbiamo accesso allo stato microscopico intendo che, una
volta scelti Dx, Dy, Dz, Dpx, Dpy, Dpz, possiamo sapere quanto vale
n(i,j,k,l,m,n) per ogni 6-pla (i,j,k,l,m,n).

Leggiamo lo stato microscopico e ci accorgiamo che n e' sostanzialmente
sempre nullo se l>1 o m>1 o n>1. Cioe' tutte le N particelle sono associate
a 6-ple di tipo (i,j,k,1,1,1). Il che e' come dire che gli "occhiali" scelti
non ci permettono di inferire alcunche' riguardo alle quantita' di moto, non
siamo in grado di dire se la distribuzione delle quantita' di moto e' quella
che sarebbe prevista nel caso di equilibrio macroscopico (cioe' non siamo in
grado di vedere la distribuzione di Maxwell: per quanto riguarda le
quantita' di moto abbiamo scelto un "microscopio al contrario").
In cambio abbiamo una ottima risoluzione per quanto riguarda le posizioni.
Ci accorgiamo che n medio e' uguale a 1 (come deve essere data la scelta di
Dx, Dy, Dz, e il fatto che solo gli stati con l=m=n=1 sono occupati) e
possiamo anche costruire un istogramma chiedendoci quante
cellette saranno vuote, quante avranno una particella, quante 2 ecc.
Sappiamo che l'equilibrio macroscopico sarebbe associato ad una
distribuzione di Poisson e dal fatto che la osserviamo ne inferiamo che,
*almeno per quanto riguarda le posizioni* sembrerebbe esserci equilibrio.
Per quanto riguarda le posizioni abbiamo scelto degli ottimi occhiali.
In via di principio avremmo anche potuto ottenere un'altra distribuzione, ma
abbiamo proprio ottenuto quella associata al maggior numero di microstati.
Qua naturalmente il discorso e' statistico. Il microstato osservato potrebbe
anche essere frutto di una fluttuazione e diremo comunque che siamo
all'equilibrio o meno a seconda dei nostri gusti: se osserviamo tutte le
particelle in una unica celletta diremo: "per fluttuazione statistica una
cosa del genere potrebbe avvenire una volta ogni tot vite dell'universo
quindi non credo alla fluttuazione ma credo al fatto che qualcuno abbia
appositamente piazzato le particelle in quel modo. In ogni caso,
indipendententemente da cio' che credo, il sistema non e' all'equilibrio o a
causa di una fluttuazione, piu' probabilmente a causa di un intervento
esterno". Se la curva osservata, confrontata con la poissoniana, da' un
chiquadro accettabile diremo che siamo all'equilibrio (e' in questa
"accettabilita'" che entrano, mi pare, i nostri gusti).

Potremmo fare la scelta complementare:
Dx = Dy = Dz = V^(1/3),
Dpx = Dpy = Dpz = (6/N) * (2*m*U/N)^(1/2).
In questo caso osserveremmo la distribuzione di Poisson su px, su py e su
pz, ma per quanto riguarda le posizioni non avremmo proprio niente da dire
se non quello che gia' sapevamo perche' imposto dal vincolo: il gas e'
dentro il contenitore. In questo caso gli occhiali sono ottimi per le
quantita' di moto e sono "microscopi al contrario" per le posizioni.

La soluzione parrebbe essere la scelta:
Dx = Dy = Dz = (V/N)^(1/3),
Dpx = Dpy = Dpz = (6/N) * (2*m*U/N)^(1/2).
Ma questa scelta ci fa passare dalla padella nella brace (o meglio ci fa
passare da una posizione in cui "ci scottavamo un po'" nella brace, nel
senso che prima almeno qualcosa potevamo dire, ora non possiamo dire piu'
niente).
Le cellette occupate si estendono su una "regione" che raccoglie circa N^2
cellette, e di tutte queste la stragrande maggioranza sara' vuota (N>>1). Ci
saranno solo N cellette occupate da una sola particella e le restanti N^2-N
sono vuote.
Gli occhiali scelti sono dei "microscopi", non riusciamo a vedere ne' la
distribuzione di Poisson sulle posizioni ne' la distribuzione di Maxwell
sulle quantita' di moto.
Naturalmente potremmo integrare su opportuni insiemi, ma questo ovviamente
sarebbe come dire di cambiare occhiali alla ricerca dei migliori.

Per evitare il problema, cioe' per evitare di osservare il sistema con il
microscopio non vedendo nulla, la regione sulla quale si estendono le
cellette occupate non deve raccogliere un numero di cellette >>N. Cioe' se
una particella esplora di fatto una regione dello spazio delle fasi di
volume V*P allora il volume della celletta unitaria deve essere dell'ordine
di V*P/N.
Una particella esplora su x, una regione pari a V^(1/3), stesso discorso per
y e z), mentre su px esplora una regione dell'ordine di 5~10*
(2*m*U/N)^(1/2), stesso discorso per py e pz.
Il volume "giusto" per la celletta sarebbe, parte il fattore 5~10,
(1/N) * [V^(1/3)]^3 * [(2*m*U/N)^(1/2)]^3.
In questo senso mi pare che il sistema, cioe' i vincoli ad esso imposti (V,
U, N), suggeriscano il volume della celletta.
Con U = (3/2)*N*K*T e (V/N) = (K*T)/p, si ottiene, a parte fattori numerici:
(1/p)*m^(3/2)*(K*T)^(5/2).

> Giorgio

Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Tue Mar 07 2006 - 14:10:35 CET

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