Re: circuitazione e potenziale

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: 2 Mar 2006 06:02:13 -0800

>Pu� essere che un vettore abbia circuitazione nulla e
>rotore NON nullo?

Ammettendo che il campo sia derivabile, la risposta � NO.

Prendi un punto p e una circonferenza C centrata in p
ri raggio r. Sia S la superficie del cerchio bordato da C.
Il teorema di Stokes per il campo a E dice che

circuitazione del campo su C
integrale di superficie di Rot E su S

Nell'ipotesi di circuitazione sempre nulla hai che

integrale di superficie di Rot E su S = 0

Questo � quello che hai detto tu: il flusso � nullo, ma
l'equazione di sopra implica anche che

(1/S) integrale di superficie di Rot E su S = 0 (1)

 Se ora mandi r a 0, il primo membro di (1) tende a

Rot E_p

cio� al rotore di E valutato in p. Per cui concludiamo che

Rot E_p = 0

in ogni p.

>Qual � dunque la condizione necessaria
>e sufficiente affinch� un campo vettoriale possa essere
>espresso tramite il gradiente di un potenziale scalare?

Una condizione necessaria e sufficiente � che la circuitazione
sia nulla su ogni curva chiusa.

Un'altra condizione necessaria e sufficiente � che l'integrale
del campo lungo una linea aperta dipenda solo dagli estremi della
curva ma non dalla curva usata.

Una condizione necessaria, se il campo � derivabile
con continuit�, � che il rotore del campo sia ovunque nullo.

Una condizione sufficiente, se il campo � derivabile con continuit�
ed � definito in una regione _semplicemente connessa_ �
che il rotore sia nullo in tale regione.

Ciao, Valter
Received on Thu Mar 02 2006 - 15:02:13 CET