Re: Aiuto esercizio: particella su circonferenza

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: 16 Feb 2006 01:37:43 -0800

Prima di tutto: gli indici di difetto sono nulli come ho gi� detto in
altri post.
Non � questo il punto. Non cerchiamo le estensioni autoaggiunte, ma
quelle essenzialmente autoaggiunte...
Vengo alle tue domande.

>l'operatore P che agisce
>nello spazio delle combinazioni lineari finite, a coefficienti complessi,
>delle funzioni exp( i n x) con x in R/[0,2pi] dove vige la topologia indotta
>da R, ed n e' nei naturali, al modo seguente: Pf -i f ', e' essenzialmente
>autoaggiunto.
>Vero o falso?

VERO

(se per "naturali" quelli con segno, cio� quelli che si chiamano
pi� frequentemente "interi", e se con R/[0,2pi] intendi l'insieme
[0,2\pi]
con estremi identificati. Cio� quello che conta � che si lavori nello
spazio di
Hilber L^2([0,2\pi]) )


>Se per contro consideriamo operatori che agiscono
>allo stesso modo, fatta eccezione per un insieme finito di punti (x0, x1,
>xm),
>sulle combinazioni lineari finite di quell'insieme di funzioni della forma:
>exp(i (theta_k + n) (x-x_k)) chi_k(x) dove k varia da 0 ad m e chi_k
>e' la funzione caratteristica per l'intervallo (x_k , x_{k+1}) (ponendo m+1
> 0),
>allora ciascuno di questi operatori risulta essenzialmente autoaggiunto.
>Per ogni combinazione lineare possiamo mostrare che P e' hermitiano.
>Vero o falso?

Non ho capito bene. Ma ti puoi rispondere da solo. Ecco come.
Il punto � semplicemente questo: lo spazio delle
combinazioni lineari finite delle funzioni del tipo scritto sopra
genera
 finitamente i soliti esponenziali exp( i n x) ?
(eventualmente modificati su un insiemi di misura nulla arbitrari).
Pi� debolmente lo spazio delle comb lin finite suddette approssima
a piacimento nella norma L^2 i soliti esponenziali exp( i n x)?
Se la risposta � si a una delle due possibilit�, allora l'operatore
� essenzialmente autoaggiunto (ammettendo che sia hermitiano come
confermi in fondo)

Ciao, Valter
Received on Thu Feb 16 2006 - 10:37:43 CET