3p ha scritto:
> Grazie!!! Non vorrei abusare della disponibilit� ma smanettando con
> gli esercizi senza avere ancora speso sufficientemente tempo sulla
> teoria (aimh� come ne sono coscente!)
Va bene, pero' scrivilo con la "i": cosciente :-)
> ... mi sono imbattuto in un altro dubbio e non posso non esporlo
> perch� mi tormenta (anche se probabilmente assai stupido). E' il
> seguente. L^2 e L_z commutano e dunque vi sono stati del sistema che
> sono autostati di entrambi.
Veramente si puo' dire di piu': hanno una base (sistema completo
ortonormale) di autovettori comuni.
Questo e' un teorema generale, anche se nel caso di operatori con
spettro continuo andrebbe enunciato con piu' attenzione...
E vale anche il viceversa: se due operatori (autoaggiunti) hanno una
base di autovettori comuni, essi commutano. Questo e' piu' ovvio.
> Ma non possono esistere stati del sistema che sono autostati dell'uno
> ma non dell'altro?
Ma certo!
Pensa a un autostato di L^2 e di Lx: certamente non e' autostato di
Lz (con un'unica ecezione: vedi sotto.)
> La dimostrazione del principio di indeterminazione sembra portare alla
> conclusione che grandezze che non commutano non possono condividere lo
> stesso autostato (perch� gli autostati sono stati determinati e quindi
> verrebbe ad annullarsi il prodotto delle deviazioni standard delle
> distribuzioni di probabilit�)
Falso.
Un autostato di L^2, Lx, Ly, Lz esiste: quello con autovalori tutti
nulli.
L'esistenza di _qualche_ autovettore comune non e' impedita dalla non
commutazione.
La dimostrazione del pr. d'indet. ti mostra dov'e' il trucco: ti dice
che DA*DB >= |<[A,B]>|.
Se ora prendi uno stato su cui [A,B] ha valor medio nullo, niente
vieta che siano anche DA=DB=0.
> Questo per� caratterizza gli autostati comuni e non necessariamente
> gli autostati di L^2 o L_z presi singolarmente. O no?
Ho gia' risposto sopra.
Aggiungo che se un autovalore e' degenere per un operatore (come
accade ad es. per L^2) puo' appunto accadere (anzi accade di certo)
quello che dicevamo: esistono autostati di L^2 che non sono autostati
di Lz (e viceversa).
--
Elio Fabri
Received on Tue Feb 07 2006 - 20:42:58 CET