Re: Meccanica del continuo, tensori, isotropia...help!!

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Fri, 06 Jan 2006 17:43:18 GMT

                    Il 04 Gen 2006, 11:34, andrea <andrea2_at_despammed.com> ha scritto:

Vediamo se ho inteso: ti serve qualcosa del
genere seguente:

Consideriamo lo spazio generale dei tensori
A_ij di rango due. Senza condizione di simmetria
imposte a priori. Consideriamo una funzione degli
elementi tensoriari di un certo numero M di tensori
di rango due. Supponiamo che il risultato debba
essere un tensore: f_ij che dipende da tutte queste
grandezze. In pi� risulter� una dipendenza dalla
posizione. Ora vogliamo costruire la pi� generale
forma funzionale la cui forma rimane identica a
seguito di una rotazione, ovvero l'orientazione degli
assi soggiacenti non deve entrare esplicitamente nella
dipendenza funzionale. In altre parole cerchiamo la pi�
generale espressione invariante per rotazioni.

In primo luogo occorre costruire un'algebra
che sia densa nello spazio delle funzioni possibili
senza alcun vincolo di isotropia, allora l'algebra dei
polinomi va bene. In secondo luogo vogliamo imporre
su questa algebra il vincolo di isotropia, ottenere una
sottoalgebra e sperare che la sua chiusura verifichi
ancora le condizioni di isotropia richieste e non tagli
fuori alcuna dipendenza funzionale. Oppure come
dici tu possiamo limitarci a dipendenze funzionali
sviluppabili in serie di Taylor rispetto agli elmenti dei
tensori argomento, ma dipendenti in modo invariante
per rotazioni.

 Siccome possiamo scegliere la posizione
come origine della rotazione, vogliamo dimostrare
che le sole combinazioni invarianti per riflessioni e rotazioni
sono ottenute per tramite di contrazioni dei tensori
argomento con i tensori intrinsecamente invarianti.
Inizialmente limiteremo l'attenzione alle rotazioni.

In dimensione N questi tensori sono ottenuti dalle
rappresentazioni irriducibili del gruppo delle rotazioni.
Vogliamo anche dimostrare che in dimensione tre i
soli tensori invarianti per rotazioni proprie sono
delta_ij ed eps_ijk e forse per questo esiste una
via abbreviata. Mentre � facile dimostrare che queste
contrazioni siano invarianti in forma per rotazioni non
� facile dimostrare che siano le sole espressioni.

Inoltre sarebbe comodo poter classificare tutte le forme invarianti
per rotazioni in termini dei soli tensori d_ij eps(i1,i2,...in)
per ottenere una base completa occorre sempre ricorrere
alla teoria delle rappresentazioni, le rappresentazioni irriducibili
sono state classificate da tempo da Young e dalla scuola
tedesca e corrispondono alla nota teoria dei tensori sferici.
E' stato effettivamente dimostrato che tutti i proiettori in
sottospazi irriducibili possono essere espressi con l'ausilio
di opportune combinazioni di d_ij. La parte di questa teoria
che serve allo scopo della ricerca delle combinazioni lineari
la trovi espressa in forma compiuta nelle note on-line di
Valter Moretti.

Infine vorresti qualcosa per dimostrare, per questa via
che la classe dei tensori di rango quattro invarianti per
trasformazioni ortogonali � definita dai tre parametri
A,B,C e si esprime nella forma:

U_ijkl = A d_ik d_jl + B d_ij d_kl + C d_il d_jk

Se abbiamo questi teoremi, o mattoncini fondamentali
possiamo ottenere per esempio il pi� generale tensore
invariante per rotazioni proprie e che sia lineare
negli argomenti in modo ovvio. Utile applicazione,
i seguenti sono invarianti scalari di A_ij costruibili con
questa tecnica:
Tr(A) = d^ij A_ij,
Det(A)=eps(ijk) A_1i A_1j A_1k
eps_1jk A_2j A_3k + eps_2lm A_1l A_3m + eps_3no A_1n A_2o
questi sono i tre invarianti caratteristici della matrice A.

Vedo se riesco a trovare questa teoria gi� sviluppata
magari on-line in modo che ti sia subito disponibile.
Forse gi� nelle dispense sull'algebra dei tensori
di Valter Moretti appena ho tempo gli d� un'occhiata.
E' questo che cerchi?

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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Fri Jan 06 2006 - 18:43:18 CET

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