Il 30 Dic 2005, 20:52, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> andrea.panizza_at_hotmail.it ha scritto:
> > Ciao, vorrei chiedere il vostro aiuto per chiarirmi alcuni concetti
> > che sto studiando x lavoro.
> > ...
> > Ci ho azzeccato fin qui? Ho saltato qualcosa?
> Sono meno pignolo di Tetis :) e direi che fin qui ci siamo.
Scusa l'insistenza, ma proprio non mi riesce di comprendere
quest'argomento per cui R non pu� dipendere dalle combinazioni
antisimmetriche del tensore gradiente. Ho anche rivisto il classico
argomento con cui Landau esclude questa eventualit� nello studio
delle equazioni costitutive per l'elasticit�. Lui dice che siccome
il momento angolare che agisce su un elemento di volume pu�
essere ricondotto, con semplici manipolazioni algebriche, ad
un integrale di superficie del tensore momento angolare pi�
un integrale di volume che dipende dalla differenza fra le componenti
ad indici scambiati del tensore degli sforzi, allora se si ammette
che il momento angolare abbia solo contributi di superficie, immagino
in virt� del III principio, ne segue che la parte che coinvolge un integrale
di volume deve annuallarsi e quindi che il tensore degli sforzi deve
essere simmetrico.
Tuttavia a me non sembra
automatico che un termine non nullo della parte di volume non
possa essere ricondotto ad un integrale di superficie. Anzi nel
caso in cui il tensore degli sforzi sia proporzionale a gradienti
di funzioni del punto � proprio ci� che si verifica. Ma c'� un ulteriore
motivo di perplessit�: anche ammesso di potere aggiustare
questo argomento e di potere imporre che il tensore degli sforzi
sia simmetrico non vedo, forse per miopia, nessun motivo per
escludere che ad un tensore simmetrico contribuiscano
termini antisimmetrici in combinazioni invarianti. Come
(\omega)^2 per esempio.
L'argomento che sostiene Andrea, e che non capisco � che
questo possa essere escluso sulla base di un argomento
di invarianza delle equazioni dinamiche rispetto a cambiamenti
di coordinate che corrispondo a moti rigidi. Ma questo argomento
mi lascia alquanto perplesso ed eventualmente � un argomento
non banale. A dir tutta la verit�, da quel che ho letto in net, nei modelli
non lineari per la turbolenza i termini antisimmetrici entrano
ed hanno un ruolo importante ai fini del bilancio termodinamico,
eccetto forse quei casi e quelle scale del sistema in cui domina
un meccanismo di dissipazione a cascata turbolenta. Cio� non
domina la dissipazione ma la cinetica, esiste anzi quella regola
quasi generale, dovuta a propriet� generali dei sistemi dinamici in
particolare il fatto che c'� sempre un coefficiente di Lyapunov minimo
che dopo che si � stabilito il massimo del disordine (ovvero dopo
che gli altri coefficienti di Lyapunov hanno prodotto il massimo della
dispersione nello spazio delle fasi) domina l'ulteriore aumento di
entropia, ne risulta che un sistema dinamico complesso si arrangia,
quasi generalmente, a meno che i coefficienti di Lyapunov pi� piccoli
non siano assenti per qualche motivo, in modo da produrre il minimo
possibile di entropia: in idrodinamica i sistemi
dissipativi ottengono questo risultato formando strutture annidate
in moto coerente, in modo da minimizzare la produzione di
disordine. Per questo dico che mi
piacerebbe sapere pi� in dettaglio l'argomento con cui � stata
conclusa l'assenza del termine antisimmetrico, per comprendere
come si legano le propriet� di simmetria con i meccanismi
fisici su scala microscopica.
> > Passiamo allora al mio **terzo ed ultimo problema**: si tratta del
> > teorema di rappresentazione, cio� quel teorema che dice che l'unica
> > relazione isotropa fra R_ij e D_ij �
> >
> > R_ij = (-p+alfa)*I + beta*G_ij + gamma * G_ik*G_kj
> >
> > dove p � la pressione, e alfa, beta e gamma sono scalari che dipendono
> > solo dagli invarianti di G_ij (volendo, da questa formula si pu�
> > ottenere come caso particolare la ben nota relazione lineare fra R_ij e
> > G_ij, espressa in termini di sole due costanti). Il problema � che di
> > questo teorema non ho mai trovato una dimostrazione chiara e semplice:
> > potete darmi una mano in tal senso?
> Vediamo se ti convince questo.
> Supponiamo che occorra un terzo termine:
>
> R_ij = (-p+alfa)*I_ij + beta*G_ij + gamma * G_ik*G_kj +
> delta * G_ik*G_kl*G_lj. (*)
>
> (come vedi, ho preferito esplicitare le componenti anche per il
> tensore identita').
> Dato che G e' simmetrico, esiste una rotazione di coordinate che lo
> diagonalizza e sulla diagonale avrai gli autovalori w_k.
> Allora la (*) si scrivera'
>
> R_ij = (-p+alfa)*I_ij + beta*w_i*I_ij + gamma * w_i^2 I_ij +
> delta * w_i^3 I_ij.
>
> Ma gli autovalori di una matrice 3x3 soddisfano l'equazione secolare,
> che e' di terzo grado; quindi w_i^3 si esprime linearmente mediante le
> potenze piu' basse, con coeff. che sono funzioni degli invarianti di G.
> Allora l'ultimo termine fornisce solo termini addizionali agli altri.
> A questo punto inverti la rotazione, e ritrovi un'espressione del tipo
> che avevi scritto, solo con alfa, beta, gamma cambiati.
> Lo stesso puoi ripetere per termini di grado qualsiasi in G.
Bell'argomento, forse si pu� ripetere in forma analoga per
il caso con termine antisimmetrico?
P.s.: ringrazio Andrea perch� questa discussione ha una
certa importanza rispetto al tema di cui mi stavo occupando
tempo addietro circa l'avoided crossing. Se infatti si pu�
in qualche modo mostrare che l'hamiltoniana di un sistema
si approssima, per via di simmetrie ad hamiltoniane
pi� semplici, allora si pu� pensare ad una gerarchia nei
gradi di libert� del sistema. In altre parole: mettiamo di
avere n molecole con 6n gradi di libert�. Tuttavia
questi gradi di libert� non hanno tutti lo stesso dominio
di variazione, devono esistere dei vincoli, qualcosa di
simile a quello che si verifica nel caso delle variabili
di Mandelstam-Fabri, vincoli legati alle simmetrie ed
alle conservazioni in quel caso, vincoli legati all'espressione
proiettiva delle simmetrie esatte, dovute alla teoria
n-body, in questo caso e che generalizzano gli invarianti
2-body, ovvero il cosiddetto ramo s della teoria dello
scattering a 4-rami. C'� infatti una corrispondenza tutta da
esplorare fra le simmetrie di monodromia di una equazione di Schroedinger
n-body, la loro controparte nello schema di Heisenberg, ovvero
le simmetrie SU(N) che generano le matrici hermitiane
dalla forma diagonale di una hamiltoniana, ed il gruppo di
monodromia dell'approssimazione semiclassica.
Tipicamente quello che si ha sommando le fasi indipendenti
di un sistema ad N frequenze � che alcune di queste frequenze
sono correlate le une con le altre in modo da dar luogo alla
validit� dell'approssimazione classica, ovvero alla possibilit�
di costruire pacchetti d'onda, altre frequenze danno invece
luogo alla dispersione tipica della rappresentazione posizione,
in altri termini, si sommano in modo da essere ben descritte
da una variabile binomiale, altre frequenze possono essere
meglio descritte da un processo multinomiale o ipergeometrico.
Per esempio se per un gruppo di frequenze vige una relazione
che � approssimata da un'equazione caratteristica di grado maggiore
di due. Nel primo caso
abbiamo statistica gaussiana, separazione di scala e tutte le
virtuose propriet� delle equazioni locali del secondo ordine,
nel secondo caso abbiamo un range di situazioni che spazia
dai comportamenti coerenti alle distribuzioni di Levy ed emergono
comportamenti non locali e fenomeni di ricorrenza. Tuttavia
non deve stupire se quello che domina nelle transizioni
quasi-adiabatiche sono i due regimi estremi, quello classico
in primis, quello gaussiano poi. Il rumore gaussiano ha il
potere, conferitogli dal teorema del limite centrale di coprire
quasi interamente i fenomeni sub-poissoniani e
super-poissoniani. E' per questo che i metodi di
approssimazione della teoria del transition state
danno risultati buoni nella gran parte dei casi?
> --
> Elio Fabri
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Received on Sat Dec 31 2005 - 17:30:36 CET