Re: Meccanica del continuo, tensori, isotropia...help!!

From: andrea <andrea2_at_despammed.com>
Date: Wed, 04 Jan 2006 11:34:28 +0100

Elio Fabri ha scritto:

[..]

>> Ci ho azzeccato fin qui? Ho saltato qualcosa?
> Sono meno pignolo di Tetis :) e direi che fin qui ci siamo.
>

Ciao, Elio,

mi scuso anche con te per i miei tempi di risposta lunghissimi: ti
ringrazio molto per aver confermato la correttezza del ragionamento fin
qui e per il tuo aiuto.

[..]

> Vediamo se ti convince questo.
> Supponiamo che occorra un terzo termine:
>
> R_ij = (-p+alfa)*I_ij + beta*G_ij + gamma * G_ik*G_kj +
> delta * G_ik*G_kl*G_lj. (*)
>
> (come vedi, ho preferito esplicitare le componenti anche per il
> tensore identita').
> Dato che G e' simmetrico, esiste una rotazione di coordinate che lo
> diagonalizza e sulla diagonale avrai gli autovalori w_k.
> Allora la (*) si scrivera'
>
> R_ij = (-p+alfa)*I_ij + beta*w_i*I_ij + gamma * w_i^2 I_ij +
> delta * w_i^3 I_ij.
>
> Ma gli autovalori di una matrice 3x3 soddisfano l'equazione secolare,
> che e' di terzo grado; quindi w_i^3 si esprime linearmente mediante le
> potenze piu' basse, con coeff. che sono funzioni degli invarianti di G.
> Allora l'ultimo termine fornisce solo termini addizionali agli altri.
> A questo punto inverti la rotazione, e ritrovi un'espressione del tipo
> che avevi scritto, solo con alfa, beta, gamma cambiati.
> Lo stesso puoi ripetere per termini di grado qualsiasi in G.
>

Sarebbe una dimostrazione davvero elegante, ed anch'io avevo provato con
un metodo simile, ma purtroppo il ragionamento � incompleto :-( come
d'altronde ci si aspetta visto che non abbiamo usato la propriet� di
isotropia del legame funzionale fra R_ij e D_ij. Riporto nuovamente
l'enunciato del teorema di rappresentazione: " dati R_ij e D_ij tensori
simmetrici legati da una relazione funzionale isotropa, la relazione pu�
essere solo del tipo

R_ij = alfa * delta_ij + beta * D_ij + gamma * D_ik*D_kj

dove alfa, beta e gamma sono scalari funzioni degli invarianti di D_ij"

(il fatto che io scriva (-p+alfa) al posto di alfa ha a che fare con un
assioma della fluidodinamica che qui non ho introdotto, fate finta che
sia solo una ridefinizione di alfa).

Riprendiamo la relazione funzionale fra R_ij e D_ij:

1)R_ij = f_ij(D_kl)

dove f_ij in generale pu� benissimo non essere lineare. Immagino per�
che, assumendo come al solito "tutta la regolarit� che mi fa comodo",
f_ij sar� sviluppabile in serie di matrici. Fin qui ok, ed uno potrebbe
credere, erroneamente, di poter scrivere:

2) R_ij = (-p+a_1)*delta_ij + a_2*D_ij + a_3*D_ik*D_kj +
a_4*D_ik*D_kl*D_lj +a_5*D_ik*D_kl*D_lj+....

Dopodich� io applicavo il teorema di Cayley-Hamilton, che dice che
qualsiasi matrice quadrata di ordine n, � radice del suo polinomio
caratteristico. Pertanto D_ik*D_kl*D_lj � esprimibile come combinazione
lineare di delta_ij, D_ij e D_ik*D_kj con coefficienti i coefficienti
del polinomio caratteristico/equazione secolare, e cos� tutte le potenze
successive. Come vedi, � simile alla tua linea d'attacco.
A questo punto l'errore sar� chiaro a tutti, ma voglio comunque
sottolinearlo con un esempio. Esplicito la 2) per la componente 13 di R_ij:

R_13 = (-p+a_1)*0 + a_2*D_13 + a_3*(D_11*D_13+ D_12*D_23 + D_13*D_33) +....

Chi mi autorizza a dire che R_13 non dipende linearmente anche da
D_12, per esempio? Ma soprattutto, come faccio a dire che il
coefficiente del termine lineare � lo stesso per R_13, per R_12, ecc.,
ecc.? Insomma, anche se non conosco la teoria degli sviluppi in serie di
matrici, immagino che i coefficienti di un tale sviluppo in serie
debbano essere in generale matrici, non scalari.
D'altra parte che ci debba essere un errore � ovvio, perch� non abbiamo
mai usato la propriet� di isotropia, mentre il teorema di
rappresentazione vale solo in questa ipotesi.

Insomma, se non si fosse capito, sono perso: qualche altra idea?

Di nuovo grazie x tutto,

ciao,

Andrea
Received on Wed Jan 04 2006 - 11:34:28 CET