"Dottor Jekyll" <aquila5_at_tiscali.it> wrote in message news:<aajdgr$t02$1_at_lacerta.tiscalinet.it>...
> A pag. 57 del Landau -Lifsits di MQ (e continua a pag. 58) c'� scritto :
> "Ogni operatore unitario pu� essere rappresentato nella forma S = exp(i R)
> dove R � un operatore hermitiano; infatti, da R+ = R segue
> che S+ = exp(-i R+) = exp(-i R) = S^(-1)"
>
> Per favore mi spiegate in dettaglio come si deducono questi passaggi ?
> Questi passaggi vogliono dire che se un operatore S � unitario allora
> necessariamente S = exp(i R) ? Oppure il viceversa, ossia se un operatore �
> espresso come S = exp(i R) allora necessariamente � unitario ? Oppure tutte
> e due le cose, cio� un operatore S � unitario se e solo se S = exp(i R) ?
>
> Per� l'eventuale spiegazione dovrebbe far uso solo di nozioni che sono nelle
> prime 57 - 58 pagine del Landau, in quanto queste sono le uniche cose che io
> so di MQ
>
> Grazie, Ciao, DJ
Ciao, ho visto solo ora il tuo interessante quesito.
La risposta e` positiva in senso totale: se S e` unitario allora
esiste (non unico) R autoaggiunto tale che S = exp(iR). Viceversa, se
R e` autoaggiunto
S= exp(iR) e` unitario.
Non sono in grado di darti spiegazioni elementari di tale fatto nel
caso generale perche` la dimostrazione "vera" e` basata sul teorema
spettrale
per operatori autoaggointi (o normali) non limitati.
Se vuoi una "prova alla Landau" te ne posso dare una che sicuramente
funziona per MATRICI, ma in generale e` falsa per operatori in spazi
di
Hilbert infinito dimensionali.
Partiamo dalla seconda proposizione: se R e` autoaggiunto
S= exp(iR) e` unitario. Te la dimostro per matrici.
Vale lo sviluppo (lavorando con matrici la convergenza e` quella di
C^{n^2})
exp(iR) = I + iR + (iR)^2/2! + (iR)^3/3! +...
Facendo l'aggiunto, tenendo conto che (iR)* = -iR, se R=R*
(exp(iR))* = I -iR + (-iR)^2/2! + (-iR)^3/3! +... = exp(-iR)
ma, esattamente come per gli esponenziali di numeri (la prova e` la
stessa
usando le serie)
exp(iR) exp(-iR) = exp(-iR) exp(iR) =I
per cui
(exp(iR))* exp(iR) = exp(iR) (exp(iR))* =I
ossia exp(iR) e` unitario.
La prima proposizione invece, per matrici e` un po` piu` complessa.
Se U e` una matrice unitaria allora e` normale (cioe` UU*=U*U perche`
banalmente UU*= U*U =I). Allora puoi diagonalizzarla. Si vede
facilmente
che gli autovalori di U sono tutti della forma exp(ia) dove a e reale
(ti lascio la prova per esercizio basata sul fatto che U e` unitario).
Quindi esiste una matrice unitaria V tale che
U = V diag(exp(ia_1),...., exp(ia_n)) V*
dove diag(a,b,...) e` la matrice diagonale che ha sulla diagonale
pricipale a,b,... Se R' = diag(a_1,....,a_n), tale operatore e`
banalmente
hermitiano e dalla formula dell'esponenziale di prima hai subito che
diag(exp(ia_1),...., exp(ia_n)) = exp (iR')
Quindi
U = V exp(iR') V*
Dinuovo usando lo sviluppo dell'esponenziale hai subito che
V exp(iR') V* = exp(iVR'V*)
Dato che V e` unitario R = VR'V* e` hermitiano e
U = exp(iR)
Nel caso di dimensione infinita la dimostrazione e` piu` difficile
(se vuoi te la posto, ma non credo che ti serva per il momento da
quello
che dici. In ogni caso si basa sul teorema di sviluppo spettrale per
operatori
normali non limitati, oppure puoi passare per il teorema di Stone...)
Ciao, Valter
Received on Wed May 08 2002 - 15:33:04 CEST