Il 03/08/2019 19.12, El Filibustero ha scritto:
> Problema teorico di un numero altissimo ma finito
> di cariche su segmento, perfettamente 1D. Ciao
Ho provato a scrivere una simulazione in Mathematica,
10000 cariche puntiformi identiche sono vincolate
su un segmento (descritto come intervallo unitario
di numeri in virgola mobile), 2 cariche sono fisse
agli estremi (se all'equilibrio un estremo non fosse
occupato da una carica, spostandovi la carica più vicina
allora l'energia potenziale elettrostatica totale U
diminuirebbe), inizialmente la configurazione delle
altre cariche è casuale con distribuzione uniforme,
si itera variando ogni volta casualmente con
distribuzione uniforme la posizione di una carica
e mantenendo la configurazione che fa diminuire U,
il risultato parziale è in accordo con la previsione
che la carica si addensi agli estremi, i grafici a
istogramma danno la relazione tra posizione e
densità di carica lineare (il numero di iterazioni
indicato è il numero di volte per cui spostando una
carica allora U è diminuita):
https://drive.google.com/open?id=16kNu-J-5J6UP0txXESWQcFnRGZjsWChr
Mi rimangono alcuni dubbi sul problema teorico,
date n+2 cariche i=0,...,n+1 (2 fisse agli estremi,
n libere) di coordinate x_i, senza perdita di
generalità si può supporre che valga
0 = x_0 < x_1 <...< x_n < x_(n+1) = 1:
- la condizione per l'equilibrio è che la funzione
continua U delle coordinate x_1...x_n sia minima,
e _mi sembra_ che sia verificata perché il dominio
(spazio delle configurazioni) è un aperto A e
dato un valore u di U assunto in A, all'interno
di A si può riconoscere un compatto Cu al difuori
del quale U assuma valori arbitrariamente grandi
(U -> +oo quando la distanza tra 2 cariche -> 0),
in particolare maggiori di u, ma il teorema di unicità
dell'elettrostatica per la soluzione all'equilibrio
non mi sembra direttamente applicabile perché il
potenziale elettrostatico lungo il segmento non è
uniforme (ovviamente diverge avvicinandosi a
ciascuna carica) e il segmento non si può descrivere
come un corpo conduttore macroscopico finito
all'equilibrio (anche perché le cariche sono discrete)
per il quale imponendo opportune condizioni al
contorno vale invece l'unicità, quindi non so
se la soluzione sia unica;
se si impone la condizione che all'equilibrio il
campo generato dalle cariche diverse dalla i-esima
nei punti x_i, i = 1,...,n sia nullo, si ottiene
un sistema non lineare di n equazioni in n incognite
che non so quante soluzioni possa avere.
- Dalla simulazione apparrebbe che la configurazione
di equilibrio fosse simmetrica rispetto al centro
del segmento, questa simmetria è plausibile ma non
capisco perché debba essere necessaria, mi sembra
che a priori potrebbero esserci anche soluzioni con
distribuzioni di carica non simmetriche rispetto
al centro, mentre certamente è vero che data una
distribuzione allora quella simmetrica rispetto
al centro avrà la stessa energia.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
(mail non letta)
Received on Mon Aug 12 2019 - 11:23:56 CEST