ago conduttore carico in equilibrio elettrostatico: calcolo improprio di integrali impropri

From: El Filibustero <spalland_at_gmail.com>
Date: Fri, 02 Aug 2019 15:53:28 +0200

Riprendo un argomento gia' discusso ma ancora aperto: la distribuzione
di cariche in un ago conduttore in equilibrio elettrostatico.

Teoricamente, un conduttore filiforme rettilineo non puo' essere in
equilibrio elettrostatico a meno che non sia infinitamente lungo e
con uniforme densita' lineare di carica. Eppure ha perfettamente senso
considerare il modello "a grani": un numero finito (seppure altissimo)
di cariche uguali allineate lungo un segmento. Le due cariche agli
estremi si ritengono vincolate e le restanti si distribuiscono
simmetricamente rispetto al punto medio del segmento, piu' densamente
verso gli estremi.

Il paradosso e' che se il numero di cariche tende a infinito, dovrebbe
esserci una distribuzione limite continua, ma questo e' incompatibile
con quanto detto prima.

Proviamo allora ad esaminare una versione differente del problema:
supponiamo che la repulsione tra due cariche sia inversamente
proporzionale alla loro distanza (anziche' al quadrato della).

Mettiamo di avere 2N+1 cariche (numerate 0..2N) del valore di 1/(2N+1)
unita' di carica ciascuna, per una carica totale unitaria. Esse sono
disposte sul segmento [-1,1]; p sia la funzione che associa il numero
d'ordine della carica alla sua posizione su [-1,1]. Si ha

p(0)=-1 all'estremo sinistro,

per simmetria si avra' p(2N-k)=-p(k), in particolare p(N)=0.

Nel punto di ]-1,1[ di ascissa t, mettiamo situato tra la j-esima
carica e la j+1-esima, avremo una componente di campo elettrico verso
destra di

somma{k=0..j} 1/(t-p(k))

e una verso sinistra di

somma{k=j+1..2N} 1/(t-p(k))

per cui il campo e' dato da f(t,p)=somma{k=0..2N} 1/(t-p(k)).
Se N e' molto grande, viene spontaneo approssimare f(t,p) con una
somma integrale:

f(t,p) =~ integrale{du=0..1} 1/(t-p(u))

che purtroppo e' un integrale improprio, poiche' ora p, dal dominio
discreto 0..2N che aveva prima, ha assunto dominio continuo [0,1]
(mettendo la carica k-esima in u=k/2N) e ha un range che varia con
continuita' da -1 a 1, passando per t e annullando il denominatore.

Sussiste pero' un risultato IMHO abbastanza curioso: se affrontiamo
impropriamente questo integrale improprio escludendo un intorno
simmetrico

]t-epsilon, t+epsilon[

di t dal dominio di integrazione, ossia

integrale{du=0..t-epsilon, t+epsilon..1} 1/(t-p(u))

abbiamo sorprendentemente che il limite per epsilon-->0 di

integrale{du=0..t-epsilon, t+epsilon..1} 1/(t-sin(pi(u-1/2))

e' *identicamente nullo* rispetto a t. Pare quindi che la funzione di
posizione

p(u):=sin(pi(u-1/2))

risolverebbe la questione dell'equilibrio nell'ago, se solo le cariche
si respingessero con forza inversamente proporzionale alla loro
distanza.

Inoltre, la funzione p(u) corrisponde a una densita' lineare di carica
nell'ago di d(x):=1/(pi*sqrt(1-xx)), dove x e' l'ascissa dell'ago che
varia in [-1,1]. Se facciamo il calcolo del campo elettrico nell'ago
in t servendoci di d(x) anziche' p(x) come prima, otteniamo ancora un
integrale improprio:

integrale{dx=-1..1} 1/[(pi*sqrt(1-xx))*(t-x)]

che pero' trattato impropriamente come sopra, ossia

integrale{dx=-1..t-epsilon, t+epsilon..1} 1/[(pi*sqrt(1-xx))*(t-x)]

e' identicamente nullo rispetto t per epsilon-->0.

Domandone: qual e' la funzione "magica" p tale che l'

integrale{du=0..1} 1/(t-p(u))^2,

seppure trattato impropriamente come prima, risulti identicamente
nullo rispetto t? Ciao
Received on Fri Aug 02 2019 - 15:53:28 CEST