Il 18/08/19 10:37, JTS ha scritto:
....
> Insisterei con la d(mv)/dt = F *se* capissi cosa vuol dire questa
> equazione quando m e' variabile.
Credo che la tua intuizion sia corretta: al di là dlle complicazioni
introdotte da catene, anelli, effetti elastici o anelastici, direi che
al cuore del problema c'e' la massa variabil del corpo che cade
collegato alla catena. Che rende il tutto analogo come schematizzazione
al problema della corda che pende da un estremo su un tavolo senza attrito.
In prima approssimazione possiamo considerarel' insieme manubrio+parte
della catena "che risale" come un corpo di massa variabile
M(t) = m + (m_c/2)*(1+z(t)/L)
dove m: massa manubrio
m_c: massa totale catena
L : lunghezza totale catena
z(t): quota al tempo t del manubrio
Possiamo pensare di attribuie quota z=0 al tempo iniziale (quota di
partenza) e quindi a fine caduta il manubrio sarà a quota -L.
l'equazione del moto di queto corpo a massa variabile sarebbe
d(M(t) z'(t))/dt = - M(t)*g
con g: accel. di gravità.
derivando e lasciando a sinistra dell' uguale il termine di
accelerazione z" si ottiene:
z"(t) = -g - (m_c/(2*L))*(z'(t))^2 / (m + (m_c/2)*(1+z/L))
che mostra immediatamente come, per tutto il tratto di caduta ( -L<z<0 )
l'accelerazione del corpo composito (manubio + tratto di catena) e' in
modulo maggiore di g.
Non ho provato a integrare analiticamente l'equazione, ma una soluzione
numerica mi dà un comportamento ragionevole per m_c ~ m e lunghezza di
caduta= lunghezza catena di qualche metro.
Il modello immediatamente successivo in "realismo", come già ossevato a
WT, dovrebbe essere quello di una catena con masse concentrate in punti
e snodi tra anelli rigidi (in pratica un pendolo composto).
Ma per simulare quella situazione avrei bisogno di un paio di ore che
non ho.
Se qualcuno ha mai giocato con algodoo (
http://www.algodoo.com/), quel
software ha tutto quel che serve per simulare numericamente ed
accuratamente una catena e variare i parametri. Io pero' non sono mai
riuscito a usarlo con la stessa disinvoltura dei miei figli :-(
Received on Sun Aug 18 2019 - 14:44:17 CEST