"Tetis" <gianmarco100_at_inwind.it> wrote in message
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Ed il prodotto
> scalare kE = kx Ex(x,y,z,t) + ky Ey(x,y,z,t) + kz Ez(x,y,z,t)
> si puo' annullare. In caso contrario se questi tre modi
> dipendessero da valori differenti di k potresti usare il vincolo
> sulla divergenza per esprimere una componente come combinazione
> lineare di componenti con k differente. Ma le funzioni trigonometriche
> con periodo differente sono funzionalmente indipendenti quindi
> giungeresti ad un assurdo.
C'e' un solo caso in cui questo argomento non si applica ed
e' quando tutte e tre le componenti kx ky kz si annullano
questo porta a considerare le ulteriori soluzioni, generalmente
non conteggiate:
E_x cos(k^x_y y) sen(k^x_z z)
E_y cos(k^y_x x) sen(k^y_z z)
E_z cos(k^z_x x) sen(k^z_y y)
Nel caso si assuma l'ipotesi di campi di classe differenziabile
con continuita' allora vale il teorema di uniforme convergenza,
sugli aperti interni, delle serie di Fourier tanto della
funzione che delle derivate alle funzioni ed alle derivate.
In tal caso le condizioni di continuita' ai bordi implica
la sufficienza delle funzioni di base che si annullano ai
bordi nelle direzioni parallele al campo. Ma la dimostrazione
e' laboriosa e richiede di considerare la dipendenza dal tempo.
A questo punto la condizione di indivergenza implica, via
prodotti scalari mirati, che le fasi per il fattore
di dipendenza nella direzione del campo possono essere scelte
pari a zero. Inoltre, nel caso che lungo queste direzioni,
si abbia per la componente di Fourier considerata, una
dipendenza dalla posizione allora i valori di k per le tre
componenti risultano vincolate.
"Tetis" <gianmarco100_at_inwind.it> wrote in message
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A questo punto, visto che ho evocato quei discorsi che avrei
voluto evitare mi tocca anche di dettagliare il mio pensiero
sull'argomento, per quanto incompleto ed errabondo.
mentre se non e' possibile peggiora la situazione, perche'
> aumenta lo spazio delle fasi per i modi del campo.
Qui il punto e' delicatissimo. Infatti la questione centrale
e' che tutti i ragionamenti per dedurre la radiazione di corpo
nero muovono dall'assumere una nozione di equilibrio termodinamico.
Nozione che nonostante gli sforzi fatti di precisazione dai
fisici e dai matematici, era ancora largamente incompresa e poco
tematizzata alla fine dell'Ottocente. Ora l'eventualita' di
gradi di liberta' fuori controllo non e' del tutto innocente
in relazione al tema dell'equilibrio termodinamico. In linea
di principio, in ambito classico, occorrerebbe non solo conoscere
il dettaglio del modello dinamico dell'atomo, ma anche il modo
dettagliato di interazione dell'atomo con il campo elettromagnetico,
comprendere dettagliatamente la struttura dinamica di una cavita'
in equilibrio. Tutte cose che alla fine dell'Ottocento non erano
affatto risolvibili. Mentre c'era l'evidenza, non di poco conto,
che la radiazione elettromagnetica in cavita' termalizzava ad una
distribuzione standard.
Tuttavia:
A fianco a questo discorso le argomentazioni piu' "fisiche" partivano
da assunzioni ad hoc circa la natura dell'interazione fra gli
atomi ed il campo. L'ipotesi di base nello schema di Rayleigh
era la linearita', grazie a quella che ancora oggi va sotto
il nome di approssimazione di dipolo (pure nella meccanica quantistica
dove si dice in altri termini e quasi nello stesso modo, ma implica
tutt'altre conseguenze fra cui una quantita' di fenomeni ignoti a
Rayleigh) ma l'ipotesi di linearita' della risposta era
gia' sufficiente a spiegare le evidenze di scattering luce
gas ed una quantita' di altri fenomeni. Non so se nessuno ha
mai dimostrato in qualche quadro assiomatico anteriore alla MQ
la necessita' dell'ipotesi di Rayleigh.
Nell'incertezza accadeva che le trattazioni matematicamente piu'
sofisticate cercavano di tenere conto di questo dato di fatto
dell'efficacia dell'ipotesi di interazione lineare, muovendo da uno
schema ipotetico di descrizione lagrangiana di cui non si
conoscevano i dettagli, ma adottando uno schema di fattorizzazione
dell'azione in gradi veloci e gradi lenti. Questa fattorizzazione era
largamente ingiustificata, anzi la problematica possibilita' suggerita
dal
successo dell'integrazione mediante le variabili azione-angolo in
casi speciali e la generica situazione di non integrabilita' davano
spazio a diversi scenari possibili, continenti al tempo in larga parte
inesplorati.
Di questo schema di fattorizzazione oggi sappiamo, meglio
che nell'Ottocento, che non e' di validita' generale, ma le
trattazioni ottocentesche dovendo procedere dal semplice al
difficile assumevano spesso questa ipotesi ad-hoc, vedi le
discussioni di Poincare' sulla necessita' dell'ipotesi di Planck.
Altra ipotesi utilizzata era l'equivalenza della dinamica e della
termodinamica sulla base dello schema di Boltzmann. Anche dell'ipotesi
ergodica oggi sappiamo, come ed un poco meglio che nell'ottocento,
che anche se fosse sempre vera, non elimina il problema delle
scale temporali e che alcune deduzioni generiche fatte sulla
base di una conoscenza incompleta delle costanti del moto del
sistema puo' portare ad una deduzione piuttosto che ad un'altra.
E' per esempio il caso della meccanica statistica di un sistema
non collisionale, come una galassia, applicando un generico fattore
di Boltzmann che dipende solo dall'energia si dovrebbe concludere
che una galassia non e' ben descritta. Ma allora cosa?
Una galassia e' un sistema che non e' all'equilibrio termodinamico?
Ci arrendiamo cosi'?
No in verita' usando ipotesi di termalizzazione
parziale e l'esistenza di invarianti ulteriori, come il momento
angolare,
ed il vettore di Lenz, si riescono a fare delle significative deduzioni
sulla struttura delle galassie. Alla fine dell'ottocento quando
molto meno si sapeva delle galassie, tuttavia c'era
anche questo scenario aperto: non e' che forse stiamo cercando
di descrivere con gli schemi di equilibrio basati sull'energia
un sistema che e' equilibrato solo parzialmente? Non e' che
esistono degli invarianti, legati
alla struttura sconosciuta dell'atomo, e che limitano lo spazio
delle fasi in modo significativo? Questa idea ha lasciato una
scia nelle interpretazioni post-Copenaghen della MQ: ad esempio
nelle ipotesi delle regole di superselezione.
Quindi il problema era largamente indefinito, ricco di
sfide e di possibilita'. La situazione
oggettiva e' che nessuno, fino a quando Planck non avanzo'
la sua ipotesi di quantizzazione, era "ancora" riuscito a
dedurre la radiazione di corpo nero su base classica.
Il problema dopo Planck divenne: esiste una possibilita' di
dedurre l'ipotesi di Planck su base classica?
Che io sappia questo quesito non ha ricevuto risposte
conclusive. Esistono infatti dei tentativi di interpretazione
su base classica della meccanica quantistica. Mentre
quello che citavo (superselezione) riguarda il viceversa:
alcune formulazioni del principio di corrispondenza
ipotizzano l'esistenza delle cosiddette regole di superselezione,
una sorta di invarianti, che estendono il concetto di
integrale di moto. Per questi invarianti si pone il problema di
dire:"questi invarianti che noi osserviamo sono logicamente
compatibili con una interpretazione classica?" Sia come
sia quello che si intende per classico oggi, alla luce
della conoscenza maturata della fenomenologia delle interazioni
fra atomi e campi, e' una nozione profondamente trasformata.
Perche'? Perche' dopo l'ipotesi di Planck venne la spettroscopia
atomica, il modello di Bohr, l'equazione d'onda..., la teoria
dei campi quantistici. Tutti questi temi convergevano a formare
un quadro che si tiene, pur se a spanne e con una gran quantita'
di assunzioni implicite e parzialmente indefinite.
> Questo e' un
> problema formidabile. Ma se vuoi, e' un problema che non aiuta a
> risolvere il paradosso di Rayleigh Jeans, aiuta solo a comprendere
> che esiste una problematica difficile che e' stata accantonata
> dal fatto che la soluzione proposta da Planck era in accordo con
> i fatti sperimentali, dal fatto che la quantizzazione di Dirac
> applicata ai campi elettromagnetici ha permesso di porre su una
> base autoconsistente la statistica di Bose-Einstein
in verita' questa affermazione e' da ridire in termini meno
forti: la seconda quantizzazione ha posto, in virtu'
del teorema di spin-statistica, su nuova base ipotetica la
nozione di indistinguibilita', ed il principio di esclusione,
ma il problema della costruzione di una fondazione ipotetico
deduttiva che contenga come teorema l'esistenza di un
equilibrio termodinamico della forma dedotta da Planck e' un
problema ancora oggi, almeno in parte, aperto. Ed e' un campo
ricco di affascinanti problematiche anche solo restando nel
contesto della teoria quantistica dei campi e senza volere
scomodare la corrispondenza classica-quantistica.
> > Perch� otto versi? Non posso prendere le k_i sempre positive introducendo se
> > necessario costanti di compensazione di fase?
>
> Devo pensarci. Mi sembra di no. Ma se dici che puoi cambiare
> il segno della frequenza nella componente di fase che esprime
> la dipendenza dal tempo potrei cambiare idea.
Anzi, ho cambiato idea, mi sembra di no e basta se ragiono
nel contesto della rappresentazione complessa delle onde.
Invece va bene se considero la rappresentazione trigonometrica.
Infatti la rappresentazione trigonometrica non richiede un
segno per k. Pero' attento: cercando una interpretazione per
questo numero d'onda in termini di impulso mi ricordo che sono
ammattito per giorni sbattendo la testa sul vettore di Poynting
fin quando non ho studiato la rappresentazione complessa del campo,
di cui pero' non si apprezza mai la necessita' finche' si resta
in ambito classico e d'altra parte anche dopo avere studiato la
meccanica quantistica si deve faticare ancora prima di giungere
ad una descrizione decente del campo quantizzato e li' si trovano
nuove difficolta' fra cui anche quella di trovare su base
quantistica una interpretazione per le grandezze classiche.
Tuttavia affrontato questo percorso si puo' apprezzare effettivamente
che la semplicita' della notazione complessa del campo elettromagnetico
si impone. Mentre in ambito classico sembra solo una elegante
semplificazione delle formule, senza che risalti la necessita'.
> > Lascia stare le condizioni di polarizzazione ed il completamento con
> > l'aggiunta del campo elettromagnetico, quello � giusto ma in questo tipo di
> > ragionamento "ce lo infiliamo alla fine", cio� subito prima di calcolare i
> > gdl moltiplico per due :-)
>
> cosa sono i gdl? Ah i gradi di liberta'? Perche'
> hai due polarizzazioni. Non e' che ce lo infili
> tu e' che tanti sono i "gradi" di polarizzazione.
> Ma i gradi di liberta' del campo sono infiniti,
> solo che il volume di fase contenuto in un guscio
> di energia assegnata va come ||k||^2 donde Rayleigh
> Jeans. Altro conto e faccenda il concetto di volume
> di fase fondamentale che si vorrebbe associare alla
> quantizzazione di Planck tutt'altra faccenda e
> difficolta' stratificata come accennavo prima.
>
> > [..]
> >
> > Del resto parliamo alla prossima se no mettiamo troppa carne al fuoco,
> > grazie di tutto e alla prossima,
>
> Spero di vaccinarmi in tempo.
>
> > Ciao,
> >
> > Andrea
> >
> >
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