Il 22 Set 2005, 23:52, Casaubon
<casaubon-NoN-sPaMmArE-pLeAsE-_at_fastwebnet.it> ha scritto:
> Per ogni contributo io tendo le orecchie!!
>
> Casaubon
>
Se, intanto che, superato l'esame, avrai voglia di tornare a meditare su
questa questione del momento angolare, potrai riflettere sui seguenti
teoremi che permettono di approfondira la struttura matematica delle
isometrie.
Definizione: in uno spazio vettoriale R^n dotato di prodotto scalare non
degenere definito positivo (euclideo), le isometrie I sono caratterizzate
come
le trasformazioni dello spazio che conservano i quadrati delle distanze.
<(x-y),(x-y)> = <(Ix-Iy),(Ix-Iy)> per ogni x,y in R^n.
Lemma: la condizione di isometria equivale alla condizione di conservazione
del prodotto scalare fra coppie di vettori qualsiasi.
Teorema 1: per ogni isometria I esiste una trasformazione lineare
ortogonale O(I) tale che: Iy-Ix = O(y-x).
Teorema 2: data una funzione I(t) ovvero una parametrizzazione
liscia e continua di isometrie, esiste una curva nello spazio vettoriale
delle trasformazioni lineari ortogonali: O(t) e risulta O(t+k)=O(t)M(k)
dove O ed M sono funzioni ortogonali. la derivata rispetto a t calcolata
in t di O(t) e' uguale ad O(t)xA dove A=dM/d(k) e' una matrice
antisimmetrica.
Teorema 3: d I(t)y / dt |t=0 = A(t) (y - x) + dx/dt
Le dimostrazioni le trovi sui libri di meccanica analitica, ma comunque
puo' essere formativo riflettere su dimostrazioni convincenti per te di
questi teoremi, magari a partire dalle considerazioni geometriche
elementari. Ad ogni modo la forza di questa argomentazione e' che
prescinde dal supporto spaziale e dall'intuizione della geometria
euclidea 3 - dimensionale. Ora una conseguenza del fatto che A(t)
e' antisimmetrica e' che ha almeno un autovalore nullo se la dimensione
e' dispari e che esiste un asse a velocita' nulla.
Questo argomento non si applica per esempio in dimensione quattro.
Ed infatti in dimensione quattro sono costruibili atti di moto angolare
che hanno un solo punto fisso. Per esempio quelli che corrispondono
ad una simultanea rotazione del piano x,y e del piano z,w.
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Received on Mon Sep 26 2005 - 15:25:52 CEST