Il 17 Set 2005, 23:25, Michele Ancis <manchees_at_tiscali.it> ha scritto:
> Il Fri, 16 Sep 2005 13:15:18 GMT, Tetis ha scritto:
> > il problema si pone principalmente con le funzioni trascendenti e
> > con le funzioni inverse di funzioni razionali. Finche' ci si limitasse
> > a funzioni razionali le derivate sarebbero sempre numeri razionali
> > lo stesso si verifica per qualsivoglia ordine di approssimazione
> > mediante funzioni razionali di una funzione trascendente o
> > irrazionale.
>
> Ma..ma...Tetis, non � forse questo esattamente ci� che afferma Brogi?
No perche' Brogi non mi sembra che delimiti al campo alle
funzioni razionali. Non appena si parla di funzioni come
la radice quadrata o come le funzioni trigonometriche
occorre considerare gli irrazionali.
> Uhm...mi sembra di scorgere un barlume...senti un po' se la cosa potrebbe
> andare:
>
> 1 - E' corretto affermare che, se ci limitassimo alle sole funzioni
> razionali, non "avremmo bisogno" di introdurre l'insieme dei Reali? (Nel
> senso delle derivate e limiti, come hai detto tu...)
Si e no. Quello che dico e' che funzioni razionali assumono valori
razionali sui numeri razionali. Pero' facciamo un esempio: x^2
vale 1 per x =1 e vale 4 per x=2. Se tracciamo il grafico otteniamo
una catenella di punti vicini e sempre piu' fitta man mano che
infittiamo la griglia in ascissa, allora dovrebbe assumere anche
il valore 2 da qualche parte, a noi piacerebbe sapere dove.
Puoi infatti costruire una sequenza di numeri razionali che
hanno valore minore di 2. Nei reali questa sequenza ha sup
sqrt(2). Non lo stesso nei razionali, questa sequenza non
ammette un numero razionale che la limita strettamente.
Allora il limite di questa sequenza non esisterebbe. Quindi
ribadisco non appena consideriamo il problema inverso di
un problema razionale siamo costretti ad introdurre numeri
irrazionali. Il punto di vista di Kronecker e' che questo non
obblighi a considerare tuttti i numeri reali. Basta un ampliamento
che si chiama ampliamento algebrico. Ma Dedekind ed i suoi
seguaci invece sostennero che questo punto di vista e' troppo
difficile.
> 2 - Se (1) fosse vera, visto che la "linearizzazione" consiste proprio
> nell'approssimare una funzione - qualsivoglia - con una retta, allora ci�
> che afferma Brogi avrebbe un senso: mi riconduco in un ambito dove "posso
> fare a meno" dei "non razionali", perch� uso una funzione razionale (per
> ora di primo grado, ma poi con Taylor diventa di grado "n") per
> descriverla. Rimane da capire se questa approssimazione sia anche "la
> migliore", in un qualche senso. Se il fatto di lasciar fuori dei numeri
non
> mi crei dei problemi, insomma.
Certo che crea dei problemi.
> Sento che la probabilit� di scrivere scemenze � - per me - altissima...
Non preoccuparti la storia del pensiero matematico sui numeri
e' pieno di esitazioni incertezze, domande rimaste a lungo senza
risposte.
> Mi chiedo: ma "dx" e "dy", alla fine, sono "numeri"? Posso dire che siano
> trascendenti, irrazionali, razionali?
Dipende dalla funzione considerata e dal campo di definizione. Se
restringiamo
il campo ai razionali, e la funzione e' razionale le derivate sono razionali
se la funzione e' la funzione inversa di una funzione razionale occorrono
i numeri irrazionali, ma possono bastare quelli algebrici, ma se la funzione
e' trascendente non basta nemmeno l'ampliamento algebrico, occorre un
insieme numerabile di numeri trascendenti. La soluzione di Dedekind fu:
evitiamo tutte queste complicazioni se consideriamo come insieme di
definizione
i numeri reali. Infatti in tal caso le derivate sono numeri reali ovunque le
calcoliamo ed i problemi inversi ammettono sempre soluzione nei numeri
reali.
> M, confuso :-)
Pensa la confusione dei pitagorici... che non avevano mai
sentito parlare di Dedekind. Pero' che Brogi sbagliava lo
avrebbero capito anche loro, anche se se lo sarebbero
tenuto per se.
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Received on Mon Sep 19 2005 - 12:46:04 CEST