Re: [OT ? ... boh !]. A proposito delle dimensioni frazionarie, frattali e altro

From: MM <mm_at_casewestern.org>
Date: Mon, 2 Sep 2019 17:47:12 +0000 (UTC)

On Mon, 02 Sep 2019 04:09:31 +0200, Soviet_Mario wrote:

> Il quesito di ReBim mi ha riattivato una vena languente sotto la brace.
> Quella della dimensionalità frazionaria dei frattali.
>
> Non so se esista un termine appropriato, ma nella mia testa uso il
> termine di dimensionalità ospite quello che sostanzialmente è
> l'inviluppo che circoscrive un frattale.

Rispondo brevemente sui vari punti.

Dimensione non intera: considera un cerchio di raggio r, la sua
superficie e' proporzionale ad r^2. Per una sfera in 3 dimensioni, il
volume e' ~ r^3. In generale in d dimensioni la ipersfera avra'
ipervolume proporzionale ad r^d.

Vista cosi', per un ipervolume nessuno ti impedisce di considerare
dimensioni d non intere, ad esempio 3/2 (una funzione di 1.5 variabili e'
un po' piu' difficile da definire...).

Per il frattale: la sua dimensione si puo' misurare mediante la
dimensione di Hausdorff (non e' l'unico modo). Essenzialmente lo ricopri
con una somma di sfere in d dimensioni di volume r^d, sum_i r_i^d.

La dimensione del frattale e' il valore minimo (piu' precisamente l'inf)
sui d di tale somma, che come vedi puo' avere valore non intero.

Dimensione del frattale minore di quella dello spazio in cui e' immerso:

Considera le traiettorie dei moti browniani (se preferisci, all'incirca i
random walks: su di un reticolo ti sposti ogni volta di un segmento con
direzione completamente a caso). Per tutti i moti browniani in dimensioni
maggiori o uguali a 2, la dimensione di Hausdorff e' sempre pari a 2.
Received on Mon Sep 02 2019 - 19:47:12 CEST