Re: Operatori non locali (MQ)

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Thu, 15 Sep 2005 14:02:22 GMT

                    Il 11 Set 2005, 13:07, smargiassi_at_ts.infn.it ha scritto:
>
> Lorents wrote:
>
> > vero o non � vero che l'azione di un generico operatore lineare (in sp.
di
> > Hilbert, diciamo L^2(R) ) $\hat{A}$ si puo' sempre scrivere come
> > (\hat{A}f)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} a(x, x') f(x') dx'
> > dove a(x, x') e' una distribuzione (non so specificare meglio...)?
>
> Per funzionali continui discende dal teorema (che io trovo sul
> Kolmogorov-Fomin, par. IV.2.5):

Alcune precisazioni. Un funzionale e' un operatore da uno
spazio di Hilbert ad uno "spazio" numerico. Per i funzionali
a valori in campo complesso vale il teorema di Riesz. Per il
teorema di Riesz il nucleo integrale che risolve il problema
puo' essere addirittura un elemento dello spazio. Quindi non
vengono scomodate le distribuzioni.

Pero' la richiesta riguarda gli operatori lineari e si cita l'esempio
dell'operatore posizione e dell'operatore impulso. Questi due
esempi non sono limitati, eppure hanno rappresentazione del
tipo indicato. Dire quali sono le ipotesi piu' generali perche'
abbia luogo questa rappresentazione e' un poco piu' complesso.

Nel caso degli operatori autoaggiunti la rappresentazione
distribuzionale a valore un operatore e' molto generale e va
sotto il nome abbreviato di rappresentazione spettrale. Che
sta per "rappresentazione di un operatore mediante integrazione
sulla sua misura spettrale" Le misure in particolare sono misure
a valori di proiezione e sono molto utilizzate in fisica. Essenzialmente
permettono di fare gran parte delle manipolazioni che Dirac accenna
senza dimostrare.

Nel caso di operatori non autoaggiunti un posto speciale lo hanno
gli operatori normali. Dato un operatore normale e' possibile
costruire due operatori autoaggiunti e ciascuno di questi ammette
una rappresentazione spettrale. Dunque possiamo ricostruire la
rappresentazione spettrale anche per un operatore normale.

Ora per ottenere la rappresentazione distribuzionale che suggerisci
occorrerebbe una sorta di analogo del teorema di rappresentazione
di radon per misure commensurabili, esteso al caso di misure a valori
di proiezione. Ricordo che il teorema di rappresentazione di Radon dice
che date due misure commensurabili e' possibile definire la derivata
della prima rispetto alla seconda e questa risulta in una funzione peso
continua. Il teorema di Radon ha un posto di primo piano in fisica perche'
rende conto del concetto di densita'.

Allora quest'ultimo passaggio forse e' ovvio ma al momento mi sfugge.
Tuttavia anche se fosse ovvio non basta ancora a rispondere
affermativamente alla domanda che poni. Pure se io sento che la tua
proposta e' fondata. Nel 1993 la avanzai come congettura durante il
corso di metodi. Apprendo adesso che nel 1999 Delyon ha dimostrato
un teorema che estende le rappresentazioni spettrali di Von Neumann
al caso di operatori non normali. Pero' non conosco i dettagli di questa
dimostrazione. Invito Valter Moretti, se all'ascolto a dire se conosce
qualche
risultato sugli argomenti proposti.

> Dato uno spazio di Hilbert H reale, per ogni funzionale lineare
> continuo f in H esiste un unico elemento x_0 di H tale che f(x) (x,x_0).
>
> Con (,) indico il prodotto scalare. L'estensione al caso complesso e'
> quella ovvia.
>
          

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Received on Thu Sep 15 2005 - 16:02:22 CEST

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