Intanto salve a tutti, � la prima volta che scrivo qui e spero
di fornire un primo contributo interessante. Nel corso del mio
lavoro mi � capitato di riassumere uno dei cinque articoli
(anche se 3 contano) dell'anno mirabile di Einstein, (di cui
tra l'altro come sappiamo corre il centenario), quello sul
moto Browniano, siccome mi pare sia quello pi� bistrattato, ma
lo trovo fondamentale quanto gli altri ho deciso di spedire
tale riassunto anche qui, cos� mi dite che ne pensate^_^.
Uber die von der molekularkinetischen Theorie der Warme geforderte
Bewegung von in ruhendend Flussigkeiten suspendierten Teilchen
(Sul moto di particelle sospese in liquidi stazionari richiesto secondo
la teoria cinetica molecolare del calore)
E' interessante valutare che Einstein nell'introduzione e pi�
volte nel corso dello scritto fa notare che non ha dati sperimentali di
riferimento mancando essi di precisione e di senso. In effetti nei
lavori compiuti sul tema fino ad allora si cercava una misura diretta
della velocit� delle particelle sospese, trovando per� un risultato
privo di senso: la velocit� delle particelle appariva maggiore al
diminuire del tempo di osservazione. Al limite di un tempo infinitesimo
la velocit� sarebbe infinita. Come vedremo da un punto di vista
statistico si dimostra che in questo caso la velocit� non si pu�
misurare dividendo semplicemente lo spazio percorso dalla particella
browniana per il tempo trascorso. Altra questione fondamentale di
questo articolo � il fatto che si afferma l'invalidit� della
termodinamica classica per corpi di dimensioni microscopiche. Ma si
pone anche l'attenzione sul fatto che se le ipotesi relative al moto
browniano fossero inconsistenti, risulterebbe l'invalidit� della
visione cinetico-molecolare del calore.
Einstein parte nell'equiparare la legge della pressione osmotica
sostituendo il numero di particelle di soluto con il numero di
particelle sospese in soluzione. Anche qui non manca di notare che
secondo la termodinamica classica in una soluzione di particelle
sospese non dovrebbero esservi forze esercitate sulla membrana
semipermeabile essendo l'energia libera del sistema indipendente
dalla posizione delle particelle sospese e della membrana. D'altra
parte dal punto di vista della teoria cinetica non vi � ragione per
non supporre che il moto irregolare delle particelle sospese non generi
egualmente una pressione sulla barriera portandole ad urtare con essa.
Esaminando la questione nel formalismo della teoria cinetica e della
statistica Einstein definisce le equazioni di forza delle particelle
del sistema all'equilibrio e mette in relazione le grandezze che
definiscono lo spazio delle fasi (posizione e velocit�) con le
grandezze termodinamiche, in particolare con l'entropia e l'energia
libera (di Helmoltz). Equiparando la funzione di partizione con la
probabilit� che le particelle colloidali siano in prossimit� di
posizioni definite trova una funzione univoca per l'energia libera e
derivando quest'ultima rispetto al volume contenuto dalla barriera
semipermeabile ritrova la legge della pressione osmotica confermando
l'ipotesi precedente secondo la quale le particelle colloidali si
comportano come quelle di un soluto.
Dopo questa dimostrazione relativa alla pressione osmotica risulta
naturale valutare come si comportino queste sospensioni di particelle
nei confronti del fenomeno della diffusione. Con l'assunzione di
equilibrio dinamico Einstein valuta che la variazione dell'energia
libera sia nulla per uno spostamento arbitrario della sostanza in
sospensione. Ricavando l'energia libera in funzione dell'energia
interna e dell'entropia e scrivendo la prima in funzione delle
singole forze agenti sulle particelle sospese e la seconda da
considerazioni statistiche trova un'equazione che dimostra che
l'equilibrio con forze agenti sulle singole particelle per unit� di
volume � determinato dalle forze derivanti dalla pressione osmotica.
L'equilibrio quindi deriva dalla sovrapposizione di due opposti
processi:
1) Il moto delle singole particelle in sospensione derivante
dall'azione delle forze browniane
2) La diffusione che risulta dal moto termico irregolare delle
particelle
Il primo derivante da considerazioni di natura puramente meccanica e il
secondo da ragioni termodinamiche. Supponendo che le particelle sospese
siano di forma sferica ed applicando la legge di Stokes Einstein trova
una relazione fra il coefficiente di diffusione e la viscosit� del
liquido.
Negli ultimi due paragrafi dell'articolo, i pi� importanti, Einstein
fa due importanti assunzioni:
1) Il moto delle particelle � mutuamente indipendente, (bassa
concentrazione), da cui si ipotizza che il moto della particella sia
allo stesso modo indipendente dalla posizione della stessa particella
in un istante precedente come se fosse un'altra particella.
2) L'intervallo di tempo fra istanti successivi deve essere molto
piccolo rispetto al tempo di osservazione ma grande abbastanza da far
valere la prima assunzione.
Viene poi introdotta la funzione di distribuzione relativa agli
spostamenti delle particelle rispetto a coordinate determinate per
valutare come il coefficiente di diffusione dipenda da essa. In
particolare, grazie alla funzione di distribuzione, si trova il numero
medio di particelle che in un lasso di tempo infinitesimo occupano un
determinato volume infinitesimo, correlando cos� tale distribuzione
alla concentrazione e ritrovando, in base a considerazioni puramente
statistiche, l'equazione differenziale di diffusione (la seconda
legge di Fick). Come ci si attendeva probabilit� di un determinato
spostamento nel tempo segue una distribuzione gaussiana, quella di un
errore casuale. Lo stesso vale per la variazione di concentrazione nel
tempo.
Risulta quindi significativo prendere in considerazione la deviazione
standard, ovvero la radice dello spostamento quadratico medio,
piuttosto dello spostamento in s� della particella browniana.
Da qui Einstein deriva la nota formula che mette in relazione lo
spostamento quadratico medio con il coefficiente di diffusione.
Inoltre, cosa altrettanto importante, lo spostamento che ha senso
considerare in questo sistema, la radice dello spostamento quadratico
medio, risulta proporzionale alla radice quadrata del tempo. Da qui
l'inconsistenza delle indagini sperimentali precedenti ad Einstein:
esse tentavano di osservare direttamente il moto delle particelle e il
loro spostamento netto, in funzione del tempo e non della sua radice.
Nell'ultima parte dell'articolo Einstein sfrutta le relazioni
trovate per mettere in relazione il numero di Avogadro, il coefficiente
di diffusione, le dimensioni delle particelle e lo spostamento
quadratico medio ottenendo una stima per il primo di circa 6 10*(23).
Vi segnalo anche questo sito a riguardo, molto interessante:
http://physicsweb.org/articles/world/18/1/3
e a chi interessasse il sito col pdf dell'articolo, (la traduzione
inglese):
http://lorentz.phl.jhu.edu/AnnusMirabilis/AeReserveArticles/eins_brow...
Spero di avervi fatto cosa gradita, a risentirci,
Dulcamara
Received on Tue Sep 20 2005 - 18:27:05 CEST