Re: Velocità angolare

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 13 Sep 2005 21:29:14 +0200

Casubon ha scritto:
> Mi � appena venuta in mente un'obiezione: l'asse non � solidale con il
> corpo rotante! Se fosse solidale, non sarebbe il sistema non
> inerziale? O per quanto riguarda la velocit� angolare la relazione
> (viste anche le equazioni del moto circolare) � simile a quella
> velocit� nel moto rettilineo?
> Ma il discorso �: io l'angolo che varia nel tempo lo misuro rispetto
> all'asse per il centro, rispetto ad un altro asse fisso questo varia
> in modo diverso!
> Mi sembra di essere vicino alla soluzione, ma � come avere una cosa
> sulla punta della lingua e non riuscire a dirla!
Allora forse ci sta bene un lezioncina di meccanica razionale: capitolo
"cinematica dei moti rigidi" :-)
(La verita' e' che ne sento il bisogno: dopo le particelle virtuali,
questo buon vecchio terreno solido mi fa sentire un po' meglio :-)) )

Naturalmente non definisco tutto e non dimostro niente; ma spero
possa essere utile lo stesso.

1. Fissiamo un certo istante di temo: allora ogni punto P del corpo ha
una sua velocita' v(P) (vettore).
Si dimostra che le velocita' di due punti distinti sono legate come
segue:

v(P) = v(Q) + w x QP (1)

dove x indica il prodotto vettore, QP e' il vettore da Q a P, e w
(velocita' angolare) e' un vettore che non dipende dai punti.

A un tempo diverso w puo' riuscire diversa, in grandezza e direzione.
Nella terminologia dei meccanici di scuola italiana, questo campo di
velocita' a' un dato istante veniva detto "atto di moto".

2. (Teorema di Mozzi).
Per qualunque atto di moto rigido, esistono punti le cui velocita'
sono parallele a w.
Segue dalla (1) che questi punti hanno tutti la stessa velocita', e
che detti punti stanno tutti su una retta parallela a w (asse di
Mozzi).

3. In generale la velocita' dell'asse di Mozzi non e' nulla; se lo e'
si parla di _atto di moto rotatorio_.
In questo caso tutte le altre velocita' (per la (1)) sono ortogonali a
w.
L'asse di Mozzi si chiama in questo caso "asse istantaneo di
rotazione".

4. In particolare, se durante il moto w mantiene direzione costante, e
l'atto di moto e' sempre rotatorio, si parla di "moto piano": le
traiettorie di tutti i punti si svolgono in piani perpendicolari a w,
e basta considerare uno solo di tali piani per avere una discrizione
completa del moto.

Fine della lezione.
Ora applichiamola al caso particolare del puro rotolamento (di un
cilindro; per una forma diversa anche il puro rotolamento potrebbe
essere assai piu' complicato: esempio della palla di biliardo con
effetto.)
Abbiamo un moto piano, il cui asse di Mozzi e' la generatrice
di contatto tra cilindro e piano.

Se Q e' un punto di tale generatrice, la (1) da'

v(P) = w x QP.

Se P sta sull'asse del cilindro ne segue |v(P)| = |w|r (r raggio del
cilindro) e v(P) e' ovviamente parallela al pinao e ortogonale
all'asse del cilindro.

Se Q' e' un punto dell'asse del cilindro, per la (1) sara' sempre

v(P) = v(Q') + w x Q'P

dove pero' v(Q') non e' nulla ed e' diretta come visto sopra.
In parole, puoi dire che la velocita' di un punto generico si ottiene
componendo la velocita' dell'asse del cilindro con una rotazione di
vel. ang. w attorno a quell'asse.

Non so se quanto precede ha chiarito qualcosa...
            

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue Sep 13 2005 - 21:29:14 CEST