"Hypermars" <hypermars_at_despammed.com> wrote in message
news:dc692c$qiv$1_at_newsreader.mailgate.org
> Il potenziale all'interno di una sfera conduttrice carica e' di 1 V. Se la
> sfera viene portata a sfiorare un piano infinito conduttore, quanto diventa
> il potenziale interno?
>
> A me viene 0.557(3) V
>
> Qualcuno ha voglia di confermare? Si riesce a scrivere il risultato
> analiticamente, ammesso che sia giusto?
>
> Bye
> Hyper
Ho una risposta che ritengo parzialmente conclusiva, ma questa
conclusione contiene delle difficolta' che vorrei sottoporre
alla vostra attenzione. Il potenziale puo'
essere valutato sia con il metodo delle immagini che per soluzione
diretta del potenziale. Per soluzione diretta del potenziale
l'espressione a cui pervengo e':
Lim 1/{(2 Sinh[z])*[Sum_(n=0)^(oo)(1/(Exp[(2n+1)z-1]-1))}
z->0
non mi riesce di provare che questo limite sia un numero
diverso da zero. Mentre mi riesce facilmente una dimostrazione
del contrario, basata sulla circostanza che si applica lo scambio
del limite con la sommatoria sul limite della funzione inversa di
quella che ho scritto si ottiene una serie divergente. Ovviamente
la dimostrazione non e' supportata facilmente dai conforti teorici
elementari adatti allo scopo, proprio perche' il teorema della
convergenza dominata richiederebbe la convergenza della serie limite
per essere applicato. Un'altro test indica tuttavia un valore del limite
pari a zero. Se infatti sostituiamo la sommatoria con un
integrale troviamo un limite molto semplice che tende a zero.
In effetti che il potenziale tenda a zero puo' apparire paradossale
perche' se la sfera ed il piano hanno potenziale zero allora non
c'e' carica sulla sfera. La situazione puo' tuttavia essere pensata
in altro modo significa solo che tutta la carica della sfera si
concentra in prossimita' del punto di contatto. In modo che la
serie dei multipoli si approssima a zero, ovvero avremmo una
soluzione limite un poco paradossale in cui tutta la carica finisce
compensata da una carica contraria distribuita puntualmente ma con
momento di dipolo e con i momenti di ordine superiore nulli. Questo
e' pensabile. Infatti se avviciniamo due cariche puntiformi fino
a portarle a contatto otteniamo carica nulla.
Per contro il metodo delle immagini produce valore per valore gli
stessi risultati delle espressione che ti ho scritto qui sopra,
fino a quando i due metodi risultano entrambi a convergenza, come
deve essere poiche' i due metodi sono entrambi esatti. Ma quando
effettuiamo il limite per z che tende a zero nel caso del metodo
delle immagini posso affermare che questo limite converge a patto di
dimostrare che la sequenza delle cariche compensative dia luogo ad
una serie sommabile. E' possibile dimostrare che la sequenza delle
cariche compensative converge?
Per questo scopo devo passare per un truccaccio: trasformo l'equazione
sommatoriale che definisce la carica centrale all'iterata n
in un'equazione integrale. Poi trasformo questa equazione integrale
con Laplace ottenendo una trasformata di Laplace di una possibile
soluzione che in 0 risulta valere un numero finito. Questo metodo
potrebbe essere intrinsecamente errato, perche' la soluzione algebrica
dell'equazione che definisce la trasformata di Laplace e' la trasformata
di Laplace della soluzione a meno di funzioni improprie che potrebbero
compromettere la convergenza con valori in zero intrinsecamente
infiniti. Tutto dipende dalle condizioni asintotiche
per valori della variabile minori di zero.
D'altra parte, come dicevo la serie delle cariche immagine che
corrisponde alla soluzione che ho trovato converge logaritmicamente,
basta allo scopo studiare il comportamento in zero della trasformata
di Laplace, allora anche ammesso che questa stima del potenziale sia
corretta essa non permette stime elementari del valore del limite.
A questo punto domando a voi: quale ritenete che sia lo scenario
piu' sensato: il potenziale della sfera nella condizione di tangenza
e' zero oppure e' diverso da zero? Se volete scrivo in un file tex
tutte queste chiacchiere, mettendo pero' nero su bianco tutti i
passaggi utilizzati.
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Received on Thu Sep 08 2005 - 16:30:43 CEST