Re: Calcolo analitico capacità elettrica.

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Thu, 04 Aug 2005 20:45:48 +0200

IW6DFW ha scritto:
> Ho supposto le armature cariche uniformemente, con una densit� di
> carica superficiale pari a (carica totale armatura) / (area armatura)
> e trascurato gli effetti di bordo del campo poich� suppongo l'altezza
> del condensatore >> distanza tra le armature. Naturalmente � una
> grossa approssimazione ma ricalca la tecnica che consente di ottenere
> le classiche formule per le geometrie pi� comuni.
D'accordo per gli effetti di bordo. Avevo suposto anch'io di poterli
trascurare, cosi' che il problema diventi bidimensionale. Altrimenti...
Se prorio fosse necessario, si potrebbe poi vedere come introdurre
una qualche correzione.

Quella che pero' non va e' l'altra ipotesi. La densita' di carica
certamente non e' uniforme: basta che provi a disegnare a occhio le
linee di forza, e te ne accorgi.
Le cose vanno tanto peggio da questo punto di vista, quanto piu' a e
b sono vicini: ricordi che avevo chiesto quanto vale il rapporto a/b?

In un primo tempo speravo che ci fosse un metodo analitico per
risolvere il problema, ma ora temo di no.
Per cui ho pensato a metodi approssimati, e quello che mi sembra piu'
promettente e' il seguente.

Le piu' semplici funzioni armoniche che hanno la simmetria del
problema sono:

1, r^6*cos(6*phi), r^(-6)*cos(6*phi).

(Poi ci sono le potenze 12, 18, ecc.)

Percio' la combinazione lineare

V(r,phi) = u + v*r^6*cos(6*phi) + w*r^(-6)*cos(6*phi)

e' ancora una buona funzione; solo che non soddisfa le condizioni al
contorno.

Si possono pero' cercare u,v,w in modo che l'errore sia minimo, per
es. rendendo minimo

(sc.q.medio di V dal valore sull'armatura interna)^2 +
(sc.q.medio di V dal valore sull'armatura esterna)^2.

Questa condizione determina u,v,w e ti da' una soluzione approssimata.
Volendo migliorarla basterebbe aggiungere altri termini.
Il solo problema e' che il calcolo e' piuttosto tedioso; ma se hai
familiarita' con Mathematica, o con Derive, o simili, non dovresti
avere problemi.

Dimenticavo: la carica si ottiene integrando _at_V/_at_r su una qualsiasi
circonferenza.

Se ci provi, fammi sapere come va a finire...
(Io non ho provato ;-) )

> La prego di contattarmi via e-mail se pu�.
Preferisco rispondere nel NG, prima di tutto perche' assumo che ci
possa essere qualcun altro interessato al problema, e non mi parrebbe
bello tagliarlo fuori.
       

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Thu Aug 04 2005 - 20:45:48 CEST