Formulazione rigorosa del problema della "linearizzazione" della geometria ellittica

From: giovanni \ <esengal_at_ign.ti>
Date: Sat, 16 Jul 2005 09:44:05 +0200

Anche se la si poteva facilmente intuire, voglio esplicitarvi la mia
formulazione rigorosa del problema che mi piace chiamare della
"linearizzazione" della geometria ellittica.
Chiaramente, il problema e` quello della struttura dello spaziotempo nella
Relativita`, ma per il momento voglio esporlo in maniera semplificata, ossia
prescindendo dall'ordinamento della struttura algebrica e considerando,
appunto, solo la struttura algebrica, il che, nel caso piu` generale,
impedisce ad esempio di parlare di giacenza di un punto tra altri due punti.
Per semplicita`, inoltre, e` meglio pensare il problema nel caso
bidimensionale, dato che poi non ci vuole molto ad estenderlo ad un numero
di dimensioni maggiore.
Dunque.
Sia (X,+,*) una struttura algebrica a due operazioni interne (a priori
consideriamo una struttura algebrica generale e quindi non imponiamo
condizioni alle operazioni).
Definiamo "piano lineare P su X" la coppia (X^2, L), dove X^2 e` il quadrato
cartesiano di X ed L e` l'insieme di tutti i sottoinsiemi A di X^2 tali che
esista una terna (a,b,c) di elementi di X tali che A sia uguale all'insieme
delle coppie (x,y) appartenenti ad X^2 tali che a*x+b*y=c. Gli elementi di
X^2 saranno detti "punti di P" e gli elementi di L saranno detti "rette di
P".
Chiaramente, a seconda delle proprieta` algebriche di X dipendono le
proprieta` geometriche del piano lineare su X. Ad esempio, se X e` il campo
dei numeri reali, allora il piano lineare su X gode delle proprieta` di
piano affine, che sono le seguenti:
1) per ogni coppia di punti p e q di P, con p diverso da q, esiste un'unica
retta l di P tale che sia p che q appartengono insiemisticamente ad l;
2) per ogni retta l di P, esiste una coppia di punti p e q di P, con p
diverso da q, tali che sia p che q appartengono ad r;
3) esiste una coppia di rette r ed m di P tali che r sia insiemisticamente
diversa da m.
4) per ogni retta l di P, e per ogni punto p di P tale che p non appartenga
ad l, esiste un'unica retta r di P tale che p appartenga ad r e
l'intersezione di l ed r sia vuota.
Le proprieta` che io chiamo di "piano ellittico astratto", "astratto"
perche' piuttosto povero di proprieta`, si ottengono prendendo le proprieta`
di piano affine e sostituiendo la proprieta` 4 con la seguente:
4') per ogni retta l di P, per ogni punto p di P tale che p non appartenga
ad l, e per ogni retta r includente insiemisticamente p, l'insersezione di l
ed r e` diversa dal vuoto.
Ora, il problema che vorrei porre e`: esistono strutture algebriche X tali
che il piano lineare P su X goda delle proprieta` di piano ellittico
astratto? La risposta e` quasi sicuramente affermativa. E, allora, di quali
proprieta` godono tali strutture algebriche X? Ovviamente non possono godere
di tutte le proprieta` di campo. Quali proprieta` continuano a rimanere
valide tra le proprieta` di campo?
Ciao!
Giovanni
Received on Sat Jul 16 2005 - 09:44:05 CEST