"Davide Venturelli" ha scritto:
> Ciao a tutti,
> in fisica dello stato solido, per il calcolo dell'energia di Madelung,
> ho incontrato una serie condizionatamente convergente, che fisicamente
> rappresenta la somma dei contributi coulombiani dell'energia di tutti
> gli atomi del cristallo. Il problema e' risolto attraverso il metodo di
> Ewald (che fa uso della trasformazione teta e alla fine arriva a due
> integrali che convergono dipendentemente dalla buona scelta di un
> parametro) o da altri metodi che riarrangiano gli addendi in superfici
> neutre che portano ad una successione di somme parziali che converge.
>
> Mi chiedo io... ma che senso ha avere a che fare con serie
> condizionatamente convergenti quando stiamo lavorando con equazioni
> lineari dove vige il principio di sovrapposizione? L'Aschroft-Mermin
> (se non ricordo male.. o forse era il Kittel) affronta in modo
> abbastanza superficiale l'argomento dicendo che se non sommiamo nel
> modo giusto possiamo arrivare ad una qualunque energia semplicemente
> modificando le condizioni superficiali e riarrangiando i termini in
> maniere diverse.
>
> A me questa cosa non piace affatto, pero' forse ho capito male e le
> serie convergono sempre, solo che piu' lentamente..
> Insomma come interpretare fisicamente queste serie "condizionatamente
> convergenti"?
Per un cristallo finito non c'e'
nessun problema di convergenza, dato che si tratta di
sommare un numero finito di termini finiti, i problemi sorgono
quando si vuole calcolare l'energia per coppia di ioni di un
reticolo idealmente infinito, facendo il limite dell'energia per
coppia di ioni con il numero di ioni che tende a infinito;
in questo caso e' evidente che il carattere della serie dipende
dall'ordine della somma, ad es. la serie divergera'
se si sommano i contributi all'interazione elettrostatica per
un dato ione in un ordine come il seguente:
I primi 10 vicini positivi
il primo vicino negativo
i successivi primi 100 vicini positivi
il successivo primo vicino negativo
i successivi 1000 vicini positivi
ecc. ecc..
Fisicamente questo equivarrebbe a "costruire" un cristallo
occupando i vari siti ionici in un ordine arbitrario, il che
naturalmente non e' praticabile concretamente, dato che
nel complesso un cristallo ionico e' approssimativamente
elettricamente neutro, per questo ha senso sommare la serie
in modo che i vari "strati" del cristallo in crescita risultino
composti "equamente" da ioni di entrambi i segni, e allora il
carattere della serie e' univocamente determinato.
Il modo migliore per rendertene conto e' provare
a implementare il calcolo numerico della costante
di Madelung per qualche semplice reticolo cristallino, con
un PC o anche semplicemente una calcolatrice
programmabile (un consiglio: se lo fai, sfrutta le simmetrie
del reticolo se non vuoi che il calcolo duri Na secondi,
con Na = numero di Avogadro :-) .
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Fri Jul 08 2005 - 14:29:17 CEST