Re: Angolo di rifrazione straordinario

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Sun, 04 Dec 2011 23:30:58 +0100

Tetis ha scritto :


> Per nulla, temo che tu stia ragionando su un'altra equivalenza, anche perché
> c'era un'inesattezza nella copiatura della "mia" formula.

Infatti la tua risposta delle 14.28 è comparsa dopo che avevo inviato
la presente e conferma questo sospetto.

> Nell'espressione a cui facevo riferimento il radicale sta a numeratore. La
> convenzione che ho adottato, inoltre è la stessa che dici di avere utilizzato
> tu, quindi la formula "mia" con il segno - equivale, per o>e, alla formula
> "tua" con il segno +. Ricopio le due formule esatte sperando di rendere più
> chiare le differenze formali e come in realtà queste espressioni siano
> identiche nel caso o > e:
>
>
> Formula con radicale a denominatore:
>
> tan(r) = { [ |e^2 - o^2|*sin(2a) + 2*sqrt(o^2*sin^2(a)/sin^2(i) +
> e^2*cos^2(a)/sin^2(i) - o^2*e^2) ] / [ 2(o^2*sin^2(a) + e^2*cos^2(a)) ] }^-1
>
> formula con radicale a numeratore.
>
> tan(r) = (|o^2-e^2| sen(2a) - 2 sqrt[ ( e^2+o^2 - |o^2-e^2| cos(2a))/sen^2(i)
> - e^2 o^2])/(2(e^2 sen^2(a) + o^2 cos^2(a)-1/sin^2(i))
>
> Nel caso o > e le due formule diventano:
>
> formula "tua" con radicale a denominatore:
>
> tan(r) = { [ (o^2 - e^2)*sin(2a) + 2*sqrt(o^2*sin^2(a)/sin^2(i) +
> e^2*cos^2(a)/sin^2(i) - o^2*e^2) ] / [ 2(o^2*sin^2(a) + e^2*cos^2(a)) ] }^-1
>
> formula "mia" con radicale a numeratore:
>
> tan(r) = { [ (o^2 - e^2)*sin(2a) - 2*sqrt(o^2*sin^2(a)/sin^2(i) +
> e^2*cos^2(a)/sin^2(i) - o^2*e^2) ] / [ 2(o^2*cos^2(a) + e^2*sin^2(a)) -
> 1/Sin^2(i)] }

ho ricontrollato e c'è un problema in questa formula, ma non te ne
accorgerai se usi derive, occorre spostare una parentesi:

tan(r) = { [ (o^2 - e^2)*sin(2a) - 2*sqrt(o^2*sin^2(a)/sin^2(i) +
> e^2*cos^2(a)/sin^2(i) - o^2*e^2) ] / [ 2(o^2*cos^2(a) + e^2*sin^2(a) -
> 1/Sin^2(i))] }

ti basta riguardare la derivazione che ho accennato nel seguito.

> Queste due espressioni si riconducono una all'altra per mezzo di una
> razionalizzazione, e della semplice algebra, i passaggi (li ho finalmente
> verificati poco fa) sono elementari sebbene non proprio banali, ma certamente
> alla tua portata. L'unica parte "tricky", che mi ha richiesto in precedenza
> qualche sforzo ed un poco di tempo, ma oggi ce l'avevo già pronta per la
> verifica, è quella di notare l'identità:
>
> (e^2 cos^2(a) + o^2 sin^2(a))(o^2 cos^2(a) + e^2 sin^2(a))=(eo)^2 +
> ((e^2+o^2)/2)^2 sen^2(2a)
>
> Una formula esatta piuttosto semplice è questa:

Anche qui ovviamente occorre spostare una parentesi.

[...]

> tan(r) = { [ 2(e^2*cos^2(a) + o^2*sin^2(a))] / [ (o^2 - e^2)*sin(2a) -
> (2/Sin(i))*sqrt(o^2*sin^2(a) + e^2*cos^2(a) - o^2*e^2 sin^2(i))] }

ricontrolla i dettagli anche di questa espressione, ma i grafici sono
perfettamente coincidenti. Semmai avessi ancora dubbi o difficoltà ci
metto qualche minuto a trascrivertele in TeX-online e mandarti un link.

> Visto questo l'estensione ad una soluzione generale, nel caso in cui la
> direzione d'incidenza è sgemba al piano dell'asse ottico normale alla
> superficie rifrangente, non dovrebbe presentarti particolari difficoltà
> formali.
>
>> Sam

Received on Sun Dec 04 2011 - 23:30:58 CET