Re: fermioni identici e momento angolare totale

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 07 Jun 2005 21:34:19 +0200

Davide Venturelli ha scritto:
> Ho due fermioni identici (neutroni) con momento angolare dato
> (nell'esempio del Krane 11/2) nello stesso stato spaziale (la shell
> 1h11/2 del 130-Sn).
>
> Ammettiamo che non siano "appaiati" come sono di solito.
>
> Se non penso all'antisimmetria della loro funzione d'onda direi che si
> possono accoppiare con momento angolare totale tra 0 e 11. Pero' solo
> i numeri PARI sono permessi.
>
> Perche'?
Appunto perche' sono fermioni :-)

Si tratta di un teorema generale, che ti posso enunciare cosi'.
Considera due sistemi 1 e 2, che si trovano entrambi in uno
autostato di J^2, con uguale autovalore j(j+1).
Per ciascuno del due hai 2j+1 autovalori per Jz, quindi hai a che fare
con due spazi di dimensione 2j+1.

Per il sistema composto, lo spazio e' il prodotto tensoriale dei due,
con dimensione (2j+1)^2 e lo puoi decomporre in autospazi di J^2
totale, con autovalori k(k+1) con k che va da 0 a 2j.
L'autospazio relativo a un certo k ha dimensione 2k+1, corrisp. ai
2k+1 autovalori di Jz totale.

E fin qui non ho detto niente che non sapevi gia'.

Ora ecco il punto: il nostro spazio "prodotto tensoriale", di
dimensione (2j+1)^2, puo' essere rappresetnato secondo due basi. Una
e' quella che indichero' con |jz1;jz2> con ovvio significato dei
simboli (nota pero' il punto e virgola, che e' essenziale per non fare
confusione...).
L'altra e' |k,kz> dove k da' l'autovalore di J^2, kz quello di Jz.

Il problema di Clebsch-Gordan consiste nel trovare come si esprimono i
vettori della seconda base come combinazioni lineari di vettori della
prima (o viceversa).
Mi guardo bene dal trattare il caso generale, e mi limito a enunciare
il teorema che dicevo:

"Se j e' intero e k e' pari, |k,kz> e' una combinazione simmetrica dei
|jz1;jz2>; se k e' dispari invece e' antisimmetrica.
Se j e' semintero, vale il viceversa."

Dato che hai dei fermioni identici, puoi avere solo combinazioni
antisimmetriche; dato che nel tuo caso j e' semintero, ne segue che k
dovra' essere pari.

La dimostrazione non te la scrivo, prima di tutto perche' ho ancora un
bel po' di post da scrivere.
Ma anche perche' non mi e' chiaro quanto sai della teoria del mom.
angolare in generale, e quindi se potresti seguire la dim., che non e'
difficile ma richiede un po' di conoscenze preliminari.
         

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue Jun 07 2005 - 21:34:19 CEST