Re: Angolo di rifrazione straordinario

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Thu, 01 Dec 2011 23:04:25 +0100

Nel suo scritto precedente, Sam_X ha sostenuto :
> Credo di aver risolto:
>
>> tan(r) = { [ |e^2 - o^2|*sin(2a) + 2*sqrt(o^2*sin^2(a)/sin(i) +
>> e^2*cos^2(a)/sin(i) - o^2*e^2) ] / [ 2(o^2*sin^2(a) + e^2*cos^2(a)) ] }^-1
>> [...]
>> Ma da dove esce questa formula?
>
> Questa formula e' "di poco" sbagliata.
>
> La corretta e' simile:
>
> tan(r) = { [ |e^2 - o^2|*sin(2a) + 2*sqrt(o^2*sin^2(a)/sin^2(i) +
> e^2*cos^2(a)/sin^2(i) - o^2*e^2) ] / [ 2(o^2*sin^2(a) + e^2*cos^2(a)) ] }^-1

Da qualche giorno volevo scrivere qualcosa su questa domanda. Ma avrei
voluto scrivere qualcosa sul modo di ottenere l'intensità della luce
rifratta ed arrivare ad una formula che risolve l'equazione originale
per ogni valore dell'angolo di incidenza e non solo per un intervallo.

La formula coincide con quella che trovo io imponendo la condizione di
continuità di Snell nella forma che hai scritto prima.

tan(r) = (|o^2-e^2| sen(2a) - sqrt[2 ( e^2+o^2 - |o^2-e^2|
cos(2a))/sen^2(i) - 4 e^2 o^2])/(2(e^2 sen^2(a) + o^2 cos^2(a)-1)

sapresti trasformare una formula nell'altra? A me non è ancora riuscito
:-) Però sono persuaso che sono equivalenti, risolvono infatti la
stessa equazione ed i grafici delle due funzioni sono identici. Un
aspetto indesiderabile di queste due soluzioni è tuttavia che non
rispecchiano correttamente il segno dell'angolo di incidenza.

> ed esce effettivamente risolvendo:
>
> n_1 * sin(i) = 1 / sqrt [ cos^2(90° + a - r) / (n_o)^2 + sin^2(90° + a - r) /
> (n_e)^2 ] * sin (r)
> (mi hanno aiutato su it.scienza.matematica :) )

E' da qualche tempo che meditavo di risponderti ma volevo prima
controllare di riuscire a semplificare a dovere il risultato per
controllare quella formula che dicevi, il che ho rimandato.

Naturalmente per ottenere la formula che ho scritto sopra basta
dividere numeratore e denominatore per cos(r) dopo avere sviluppato le
funzioni trigonometriche, in modo da ottenere un'equazione quadratica
in tan(r).


>> Non e' strano che non ci sia dipendenza da n_1 (indice di rifrazione del
>> mezzo isotropo)?
>
> Come sospettavo si suppone n_1 = 1


In effetti si tratta di indici di rifrazione relativi, tutte le
equazioni in gioco sono omogenee di grado 1 negli indici per cui puoi
ridefinire l'indice relavito di rifrazione: n'_o = n_o/n_1 ed n'_e =
n_e/n_1. Cioè non è necessario che il primo mezzo sia il vuoto per
utilizzare essenzialmente le stesse equazioni.

>> Ho fatto delle prove con geogebra ma non mi ci ritrovo.
>
> Avevo sbagliato a disegnare XD Ora e' tutto ok.
>
> Certo che Mathematica pensavo riuscisse a risolvere equazioni del genere, ma
> fosse va settato qualcosa, non so...

Mi è noto per esperienza che Mathematica non mi ha mai aiutato granché
con le equazioni trigonometriche, anche le più semplici, e richiede
istruzioni speciali per le trasformazioni trigonometriche, (TrigExpand,
TrigCollect, TrigReduce, TrigFactor, non sono invocate automaticamente
da FullSimplify se non in casi fortunati) perché forse questo settore è
stato sviluppato successivamente in modo poco armonico, o forse come
dici tu va settato qualcosa che non sappiamo. Comunque in questo caso
è più o meno superfluo ricorrere ad un software.

> Grazie comunque.
>
> Sam

Mi spiace di non aver saputo trovare di meglio, non mi sento pienamente
soddisfatto da queste formule, ma se sei contento tu, per me provvederò
:-)

Received on Thu Dec 01 2011 - 23:04:25 CET