Re: Condizioni al contorno per il campo magnetico

From: Peltio <peltio_at_trilight.zone>
Date: Thu, 19 May 2005 17:41:16 GMT

"progman82" ha scritto

>spiegato le condizioni di raccordo per il campo magnetico, ma
>onestamente ci ho capito poco;

Provo con una spiegazione terra-terra.
Un matematico mi accoltellerebbe, un fisico mi bastonerebbe e un ingegnere
mi prenderebbe a calci. Ma facciamo finta di niente.

Sostanzialmente per vedere in che modo il campo varia in corrispondenza
dell'interfaccia tra due mezzi, vai a considerare separatamente la
componente tangenziale e quella normale all'interfaccia, ti calcoli la
circuitazione e il flusso su percorsi e superfici che ti lascino solo i
contributi di una delle due componenti e applichi le corrispondenti leggi di
Maxwell per trarre le conclusioni. A seconda del tipo di mezzo, della
presenza di polarizzazione, magnetizzazione, correnti, campi tempovarianti
eccetera, troverai diverse condizioni al contorno.


Partiamo dalla componente normale:
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Considera il flusso del campo B attraverso un cilindretto di sezione ds che
si estende per un tratto dz a cavallo dell'interfaccia: hai contributi sulla
faccia inferiore, sulla faccia superiore e su quella laterale. Se fai
tendere a zero dz, per�, il contributo sulla superficie laterale lo puoi
trascurare. Se il cilindretto ha una sezione abbastanza piccola puoi
consideare il campo pressoch� costante sulle due superfici: il flusso � dato
dal prodotto della componente normale (con il debito segno) per l'area ds.

    Flusso[B] = B1.ds1+B2.ds2 = B1.n1 ds + B2.n2 ds
        =B1n ds - B2n ds

Ora, applica la eq. di maxwell che ti fornisce le informazioni sul flusso di
B. In questo coso di tratta di Div[B]=0: questa ti dice che il flusso
attraverso una superficie chiusa � nullo, ossia

    B1n ds - B2n ds = 0

da cui deduce che la componente normale di B si conserva nel passaggio
dell'interfaccia.

    Bn1 = Bn2

Se il mezzo � isotropo e ben educato, puoi usare la relazione di
proporzionalit� tra i campi B ed H per dedurre la mu1 Hn1 = mu2 Hn2 ossia
Hn2 = (mu1/mu2) Hn1


Per la componente tangenziale
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le cose sono solo un po' pi� complicate (in maniera analoga nel caso del
campo elettrico le complicazioni si hanno con la componente normale).
Qui consideriamo la la circuitazione lungo un percorso rettangolare lungo e
stretto in modo da poter trascurare il contributo del campo normale.
Lunghezza parallela alla interfaccia dl, lunghezza perpendicolare dz. Se fai
tendere dz a zero, puoi trascurare il contributo lungo il percorso normale e
considerare solo due contributi: quella del campo B1 nel mezzo 1

    Circuitazione[B] = B1.dl1 + B2.dl2 = B1t dl - B2t dl

Per trovare la relazione tra i due valori della componente tangenziale
applichi la corrispondente legge di Maxwell. Se non vuoi far comparire il
vettore di magnetizzazione, per�, � meglio che esprimi il tutto in termini
dell'intensit� di campo H. L'equazione di Maxwell che ti interessa, nel caso
in cui non ci siano campi tempovarianti � rot[H]= j che ti dice che la
circuitazione di h � data dalla corrente che attraversa la superficie
delimitata dal tuo circuito. Se js � la densit� lineare di corrente che
scorre sulla superficie dell'interfaccia (dovuta ad esempio anche alla sola
magnetizzazione del mezzo), la corrente I � data da js dl

   Circuitazione[H] = ( H1t -H2t) dl = js dl

ergo

    H1t - H2t = js

In forma vettoriale questa relazione si pu� esprimere nel seguente modo,
considerando la perpendicolarit� del vettore densita di corrente e del campo
magnetico tangenziale (tutte le quantita della seguente relazione sono
vettori e non componenti):

    n x (H1t-H2t) = js

Se il mezzo � isotropo e ben educato puoi usare la semplice relazione di
proporzionalit� tra i vettori B = mu H e scrivere

    B1t/mu1 - B2t/mu2 = js

Se non ci sono correnti superficiali (un mezzo non conduttore e non
magnetizzato) la relazione diventa H1t = H2t, ossia B2t = (mu1/mu2) B1t.
associata alla B1n = B2n la puoi usare per vedere come si "piega" B al
passaggio dell'interfaccia.

saluti,
Peltio

Ah, riguardo alla tua
>n x [B] = u0 Js
Boh. : ) credo sia il caso di interfaccia tra mezzi con la stessa
permeabilit� magnetica relativa.
Received on Thu May 19 2005 - 19:41:16 CEST