Il 10 Mag 2005, 00:54, Winston Smith <wsmith_at_despammed.com> ha scritto:
> Tetis wrote:
> > Tieni presente per� che esiste
> > una selva di definizioni di variet� differenziabile.
> [cut]
>
> In realt� di definizione ne esiste una sola: quella di variet�
> differenziabile *di classe C^k*, dove k � il grado di differenziabilit�
> delle trasformazioni tra carte locali.
> Peraltro, se non ricordo male esiste un teorema secondo cui, se una
> variet� ammette una struttura differenziabile di classe C^1, allora ne
> ammette anche una (eventualmente pi� piccola) di classe C^inf, per cui
> non � in teoria restrittivo limitarsi a considerare quest'ultimo caso.
> (Certo che se poi a uno servono proprio quelle coordinate che restano
> tagliate fuori...)
Anzitutto grazie per la spiegazione, di cui apprezzo certamente l'intenzione
che e' quella, immagino di non aggiungere confusione a quella gia'
eventualmente
presente. Pero' non sono persuaso di quel che dici. Gia' il fatto che la
definizione
dipende esplicitamente da k e dal numero delle dimensioni permette di
pensare una varieta' di strutture concrete e di varieta' differenziali, che
hanno
proprieta' distintive. Citavo l'esempio della meccanica classica. Se guardi
la pagina dedicata al teorema KAM. Trovi un riferimento ad una nozione
di varieta' C^(2+\epsilon). Che se tu sapessi che significa e ce lo volessi
spiegare te ne sarei veramente grato.
Ma quello a cui mi riferivo dicendo che esiste una selva di definizioni di
varieta' differenziabile e' legato a due aspetti che la definizione classica
che hai riportato non coglie affatto:
I) la dimensionalita' deve essere finita. Ma in effetti uno spazio di Banach
dotato di una struttura differenziale acquisisce proprieta' che sono proprie
di varieta' differenziabili. Allo scopo sono stati introdotte le varieta' di
Frechet.
Tenendo presente che le derivate di Frechet e gli spazi funzionali sono da
tempo entrati nei programmi dei corsi di analisi tanto per il corso di
laurea in
fisica che per quello in matematica non si puo' certo negare ad uno studente
un'applicazione di queste nozioni su esempi. E quale migliore esempio se
non le varieta' di Frechet?
II) in ambito categoriale la definizione che hai riportato risulta
estremamente
restrittiva e nasconde proprieta' molto generali che sono state evidenziate
introducendo definizioni equivalenti o piu' deboli.
http://encyclopedia.laborlawtalk.com/Diffeological_space
questa pagina fornisce una brevissima presentazione di questo progresso.
La nozione che trovi e' molto generale, attuale ed utilizzata, ed e' stata
consentita
dall'evoluzione della teoria K. Quindi non e' raro che in un libro degli
anni piu'
recenti si possa trovare riferimento ad una nozione di varieta' molto piu'
astratta
di quella che hai citato. Inoltre facevo tacitamente riferimento ad un'altra
circostanza.
Ovvero che l'aggiunta di una piccolissima connotazione strutturale puo'
portare,
e porta ad una trasfigurazione da oggetti inutilizzabile ad oggetto
potentissimo.
Basta pensare a cosa succede quando introduci la nozione di linearita' o
quella
di metrica, oppure quando puoi fare riferimento astratto alle simmetrie,
come nel
caso delle strutture associate con una equazione differenziale o con un
insieme di
equazioni differenziali. La nozione di varieta' fuchsiana, come quella di
superfice
di Riemann del resto sono del secolo scorso. Ad ogni modo sono d'accordo sul
fatto che tutto questo esula dalla definizione classica di varieta'
differenziale.
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> --
> ws
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http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Sat May 14 2005 - 18:07:23 CEST