Re: quesito su PRINCIPI DELLA M.Q. di DIRAC

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Wed, 09 Nov 2011 21:17:43 +0100

paul ha scritto:
> Vediamo: nell'oxford university press del 1967 in inglese si tratta
> della pag 34, paragrafo 9, formula (21)
Oh meno male: adesso ci possiamo capire :)
Possiedo la terza edizione del 1947, ed e' identica a quella che citi.

> a pagina 34, capitolo 2, paragrafo 9 dove dice che l'espressione (21)
> "... Since, however, the expression is only of degree n-1 in (Xi), it
> must vanish identically..." cio� che l'espressione [21] deve essere
> identicamente nulla perche' e' solo di grado n-1 nella (Xi)...".
> La cosa mi e' incomprensibile in quanto due pagine prima ha dato come
> ipotesi che la (17) fosse la piu' semplice equazione algebrica a cui
> soddisfa l'operatore lineare reale (Xi).
> Anzi, addirittura il fatto di essere di grado n-1 � usato per
> dimostrare la non identicamente nullita' di Xr(3)|P> nella [19] dove
> Xr(3) e' appunto di grado n-1.
> E ora invece dice che la )21( � identicamente nulla proprio perche' di
> grado n-1. Non riesco a capire.
Bisogna dire che qui Dirac usa, come fa spesso, argomenti di una
matematica avanzata, senza dirlo e trattandola a modo suo.
Il che va benissimo, ma in qualche caso puo' mancare di chiarezza, e
questo mi pare appunto un esempio.

Infatti quando dice "vanish identically", che cosa intende esattamente?
Ci sono qui due usi del polinomio:

1) Quello dell'algebra astratta, dove un polinomio e' una scrittura
composta di coefficienti e di potenze di una "indeterminata" (che non
e' un numero!)
In questo uso il polinomio identicamente nullo e' quello che ha nulli
tutti i coefficienti.
Se all'indeterminata sostituisci un numero (di un qualche campo
numerico, per es. nel nostro caso i reali), ottieni quella che si
chiama una "funzione polinomiale", che avra' in generale degli zeri.
Quello che Giorgio Bibbiani chiama "teorema fondamentale dell'algebra"
(che in realta' dice un'altra cosa) afferma che se un polinomio di
grado n-1 ha n zeri distinti (cioe' se la funzione polinomiale si
annulla per n valori distinti della variabile) allora il polinomio e'
identicamente nullo.

2) Quello di una particolare "algebra di operatori", nel nostro caso
generata dalla "variabile dinamica" xi e dalle sue potenze fino al
grado n-1.
Dire questo signifca dire che tutte le potenze di xi con esponente >n si ottengono come combinazioni lineari delle potenze piu' basse.
E' quello che esprime la formula (17).

Se si confondono i due significato si rischia di non capire, come
capita a te :)
Ovviamente nel secondo caso esiste una funzione, la phi(xi), che da'
risultato nullo applicandola su ogni ket, e quindi coincide con
l'operatore nullo.
Si puo' ben dire che phi si annulla identicamente, come operatore
sullo spazio dei ket.

Ma quando Dirac scrive la frase incriminata, pensa all'algebra
astratta dei polinomi e al teorema che ho citato: ha costruito un
polinomio di grado n-1 che ha n zeri, e quindi e' il polinomio nullo.
ne segue che e' anche nullo come operatore, che e' cio' di cui ha
bisogno.
               

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Elio Fabri
Received on Wed Nov 09 2011 - 21:17:43 CET