Il 05 Mag 2005, 20:51, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Giorgio Pastore ha scritto:
> Sto continuando a cercare di chiarirmi le idee, ma con scarsi
> risultati.
> Pero' mi e' venuto in mente questo: l'espressione
> dS = \sum p_i dq_i - H dt
> e' una cosa. Ma poi c'e'
> dS = \sum p_i dq_i - \sum P_i dQ_i.
> Mentre la prima vale per l'azione (integrale di L su una traiettoria
> di fase, funzione di q_i, t) la seconda riguarda invece la generatrice
> della trasf. canonica che fa passare dalle (p,q) alle (P,Q).
D'accordo. A prima vista l'equivalenza con la meccanica e' completa, pero'
non capisco tutto. Questo risultato mi sembra l'effetto di tenere fisso il
numero di
particelle il che rende effettivamente non estensiva la termodinamica
parziale
che e' indotta da dT^dS che deve essere non degenere (perche? Ma perche' nei
gas
perfetti e' perche' T ed S sono variabili indipendenti, si puo' variare
l'energia tenendo
costante l'entropia e variare l'entropia tenendo costante l'energia, ed
inoltre non
si puo' variare lo stato del sistema tenendo costanti sia E che S, ma in
generale?).
Inoltre, in questo contesto non e' possibile ricavare le relazioni di
Gibbs-Duhem,
ad esempio, perche' viene a mancare proprio la relazione di estensivita'
E(kV,kS,kN)=kE(V,S,N) che ne sta alla base e non esistono potenziali
termodinamici nulli, almeno per la generalita' dei sistemi. Inoltre ho
difficolta'
a scriver il principio di Lagrange, in generale infatti non mi e' chiaro se
e'
sempre possibile invertire _at_P/_at_T rispetto alla variabile T. Forse che non
e' importante questo passo dell'analogia? Ma almeno capire l'origine ed il
sisgnificato della sua specificita' sarebbe importante.
Ancora non mi e' chiaro
se a questa situazione corrisponde qualcosa di analogo nella meccanica. Come
dire:
non mi e' chiaro se esiste un'estensione della meccanica che risulta
"estensiva".
Eppure mi sembra che difficolta' analoghe, ma non identiche, ed anzi di
carattere
piu' generale si trovano nella formulazione relativistica.
> Se ho capito qualcosa, il punto di vista di Peterson sarebbe il primo,
> con E (energia interna) al posto di S.
> Ossia per lui lo spazio delle fasi avrebbe 4 dimensioni, dove
> coordinate lagrangiane sarebbero S,V e i momenti coniugati T,-P.
>
> A me pare piu' promettente dire che lo spazio delle fasi ha dimensione
> 2, e che che tanto la coppia (S,T) quanto la (V,P) danno coordinate
> canoniche.
Dunque, se ho inteso, P,V sarebbero il corrispondente delle
coordinate canoniche H,t nel caso della meccanica,
mentre la relazione dT^dS(X)=dH porta ad identificare
dT/dV con _at_P/_at_S e dS/dV con -_at_P/_at_T. Infatti il ruolo di
funzione di hamilton sarebbe svolto dalla pressione. E
conseguentemente da dH = dP = _at_P/_at_dS dS + @P/_at_dT dT.
> La struttura simplettica e' data dalla 2-forma dT^dS che e' identica a
> dP^dV, proprio grazie alla
> dE = T dS - P dV.
> Gli altri potenziali termodinamici sono le generatrici di altre trasf.
> canoniche, corrispondenti al fatto che anche (T,-S) e (P,-V) sono
> coord. canoniche.
>
> Non sono andato oltre, ma intanto ditemi che ne pensate.
> ---------------------------
> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
> ---------------------------
Mettendo in ordine: se in MECCANICA vale che:
Lo spazio delle fasi e' p,q
lo spazio di Poincare' e' p,q,t
l'hamiltoniana H(p,q,t). L'azione S(q,t).
Dove la funzione
_at_H/_at_p e' invertibile rispetto alla variabile
p perche' H e' funzione convessa di p.
lo spazio delle configurazioni sarebbe q, attrezzato
del suo fibrato tangente vincolato mediante la scelta
di fissare il parametro per le curve orarie t. La funzione di
Lagrange che genera le traiettorie in CxTCxTTC e'
L(q,q',t)=H(p(q,q'),q',t) - p(q,q')q' dove la funzione
p(q.q') si ottiene dall'equazione di Hamilton per q':
q' = _at_H/_at_p
allora in TERMODINAMICA, stante l'analogia, varrebbe:
lo spazio delle fasi e' T,S
lo spazio di Poincare' e' T,S,V
l'hamiltoniana e' P(S,T,V).
L"azione E(S,V).
Ammesso e non concesso che P sia
funzione convessa in T allora la funzione
_at_P/_at_T e' funzione invertibile rispetto alla variabile
T. E' un caso o una necessita'?
lo spazio delle configurazione sarebbe S,
insieme con il suo fibrato tangente, ed il ruolo
del tempo e' svolto dal volume. Ed il principio
variazionale che genera il sistema differenziale
del secondo ordine in SxTSxTTS (dove T e' inteso
per spazio tangente) sarebbe:
Int{P(T(S,S'),S')-T(S,S')S' }dV. La perplessita' principale
e' sul fatto che in generale sia vero che questo e' un
principio variazionale.
Mi sembra che l'anello debole in termodinamica
sia la convessita' della pressione rispetto alla
temperatura. Nel caso dei gas perfetti trovo che
P e' in effetti una funzione di S e T convessa in T e non
dipende esplicitamente dal parametro V. E' un caso
o una necessita'?
Come otteniamo P(S,T)? Un modo e' partire dall'espressione
per l'energia (nota l'azione in meccanica costruiamo l'hamiltoniana
dall'equazione di Hamilton Jacobi). E(S,V), per definizione troviamo:
-P = _at_E/_at_V e T=_at_E/_at_S ovvero P(S,V) e T(S,V). Occorre verificare
che V e' esprimibile in generale come funzione di S e T. Ovvero
che T(S,V) e' invertibile rispetto a V, ma questo discende dal fatto che
dT^dS = dP^dV Dunque P e V sono variabili indipendenti fra loro,
come T ed S ma non sono funzionalmente indipendenti da S e T.
Dietro questo fatto c'e' sempre il teorema di Dini, insieme alle proprieta'
delle espressioni di Pfaff. Anche stabilito questo non sono invece
riuscito ad accertare che _at_P/_at_S sia in generale una funzione invertibile
di S e T rispetto a T.
Per inciso rimeditanto tutto questo mi sono accorto di aver sbagliato
clamorosamente l'espressione per il potenziale chimico nella risposta
a Derfel sui palloncini e che c'e' qualcosa di molto profondo nell'abilita'
a scrivere questo potenziale chimico correttamente. Mi scuso ovviamente
con Derfel e spero di scrivere una lettera in cui metto in chiaro l'origine
quantistica della difficolta'.
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Received on Sun May 08 2005 - 20:14:44 CEST