Re: Ancora sull'ellissoide degli indici

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Tue, 15 Nov 2011 22:16:48 +0100

Il 10/11/2011, Sam_X ha detto :
> "Tetis" <ljetog_at_yahoo.it> ha scritto
>
>> Dovresti specificare cosa intendi con n_o, n_e, n_2. A me risulta, seguendo
>> ad esempio la nomenclatura di Born e Wolf, che l'ellissoide degli indici è:
>>
>> x^2/e_x + y^2/e_y + z^2/e_z = 1
>>
>> dove e_x,e_y,e_z sono le costanti dielettriche lungo gli assi normali
>> all'asse ottico e lungo l'asse ottico rispettivamente.
>
> costanti dielettriche relative o assolute? Fa differenza? Credo di no.

Solo nelle unità di misura, non nelle forme e nelle costruzioni
geometriche che sono quelle rilevanti.


>> ... queste due costruzioni si applicano rispettivamente alla superficie dei
>> vettori d'onda del raggio straordinario ed alla superficie dei raggi del
>> raggio straordinario che sono superfici ellissoidali solo nel caso di
>> materiale uniassico ed hanno equazioni differenti dall'ellissoide degli
>> indici e dall'ellissoide dei vettori d'onda rispettivamente. Le equazioni
>> di queste superfici sono, nel caso di asse ottico lungo z:
>>
>> (x/n_e)^2 + (y/n_e)^2 + (z/n_o)^2 = K
>> (n_e x)^2 + (n_e y)^2 + (n_o z)^2 = K
>
> posso tranquillamente porre K=1 se mi interessano solo gli angoli che si
> vengono a formare tra i vari vettori, vero?

Si.

>> dove con n_e ed n_o indico rispettivamente l'indice di rifrazione in
>> direzione ortogonale all'asse ottico e l'indice di rifrazione in direzione
>> dell'asse ottico (per il raggio straordinario).
>
> Sicuro che sia cosi'? Non dovrebbe essere il contrario? Non dovrebbe essere
> che n_e e' l'indice di rifrazione in direzione dell'asse ottico? Anche tu,
> sotto, infatti correli n_e ad e_z.
> E l'asse z e' l'asse ottico.
>
>> Vale la relazione:
>>
>> n_e^2 = c^2/(e_z mu)
>> n_o^2 = c^2/(e_x,y mu)
>
> qua non mi trovo. Partendo dal fatto che, ad esempio, e_z sia la costante
> dielettrca assoluta lungo z, si avrebbe: (e_0 e mu_0 sono le costanti del
> vuoto)
>
> n_e^2 = (e_z mu_z) / (e_0 mu_0) = e_z / e_0 (se mu_z = mu_0, come stiamo
> sempre ipotizzando)

Stavo riflettendo nuovamente su questo punto prima di leggere la tua
risposta, ed avevo scovato l'errore che dici: hai perfettamente
ragione.

 Quindi sintetizzando possiamo dire che passiamo dalla superficie dei
vettori d'onda all'ellissoide degli indici scambiando n_e con n_o.

> cio mi ritrovo che n^2 ed e sono direttamente proporzionali e non
> inversamente come accade a te.
> Da qui in poi, per questo problema, non mi ritrovo piu' col discorso.
> E fallisce anche l'analisi dimensionale. n_e^2 dovrebbe essere un numero puro
> mentre c^2/(e_z mu) non lo e'!
>
>> [...]
>> Quello che l'autore delle slides rappresenta in questo caso è però, come
>> dicevo, quello che Born e Wolf e quasi tutti gli autori che si mantengono
>> nel solco della buona tradizione chiamano...

...ellissoide degli indici. Davis chiama indicatrice l'ellissoide degli
indici (come fanno Born e Wolf) anziché la superficie dei vettori
d'onda (come fa la scuola russa). Riconosciuto questo la costruzione di
quelle slides della direzione del raggio associato con il vettore
d'onda per i due modi di polarizzazione mi sembra corretta da cima a
fondo, riepilogando, ed uniformandomi alla notazione comune:

n_e = e_z
n_o = e_x,y

L'ellissoide degli indici è:

(x/n_o)^2 + (y/n_o)^2 + (z/n_e)^2 = 1

l'ellissoide dei raggi, detto anche ellissoide di Fresnel è:

(x n_o)^2 + (y n_o)^2 + (z n_e)^2 = 1

la superficie dei vettori d'onda straordinari:

(x/n_e)^2 + (y/n_e)^2 + (z/n_o)^2 = 1

la superficie dei raggi straordinari:

(x n_e)^2 + (y n_e)^2 + (z n_o)^2 = 1

(queste ultime due sono definite solo nel caso di cristalli uniassici e
formano un sottoinsieme delle superfici di Fresnel che nel caso
uniassico contengono anche le superfici dei raggi ordinari che sono
sferiche e tangenti a quelle dei raggi straordinari).

Ora, come sai, considerando l'ellissoide degli indici, dalla sezione
ortogonale al vettore d'onda si ottengono come semiasse maggiore e
minore rispettivamente i due modi di polarizzazione del vettore
d'induzione per il raggio ordinario e quello straordinario.

Per ottenere la direzione del raggio abbiamo a disposizione due
semplici costruzioni, una è quella che dice l'autore delle slides,
l'altra la descrivo di seguito:

Chiamiamo O il centro delle coordinate e P un punto sul vettore d'onda,
e Q1 l'estremo di uno dei due semiassi. L'intersezione del piano POQ1
con l'ellissoide degli indici individua un ellisse, se dal punto Q1
consideriamo la tangente a questo ellisse otteniamo la direzione del
raggio. Questa costruzione, per certi versi più semplice è equivalente
a quella descritta dall'autore delle slides (Born e Wolf non vi
accennano, penso perché sono piuttosto elementari una volta capito il
principio soggiacente che è quello che descrivo di seguito)

La ragione di questa costruzione è questa: come avevo osservato già
nella risposta precedente il raggio ortogonale all'ellissoide nel punto
Q1 ha direzione data dal gradiente della funzione:

(x/n_o)^2 + (y/n_o)^2 + (z/n_e)^2

calcolata in (xQ1,yQ1,zQ1) ovvero il vettore (xQ1/e_x , yQ1/ey ,
zQ1/ez) che è quindi, per definizione, il campo elettrico associato con
il vettore d'induzione (xQ1,yQ1,zQ1). Mentre il campo magnetico è
ortogonale al piano POQ1. Quindi il raggio è nel piano POQ1 ed
ortogonale al campo elettrico, ovvero tangente all'ellissoide.

Il fatto che questa costruzione sia equivalente a quella delle slides
discende dall'identità:

(x/ex,y/ey).(x',y') = (x,y)(x'/e_x,y'/e_y)

o in altri termini da una proprietà geometrica dell'ellisse: dati su un
ellisse due punti M,N tali che, detto O il centro, risulti OM parallelo
alla tangente in N allora risulta che ON è parallelo alla tangente in
M, e viceversa.

Queste costruzioni valgono in generale nel caso dei cristalli inassici,
uniassici come dei cristalli biassici.

Rispetto alla costruzione basata sulle superfici di Fresnel offrono
qualche vantaggio di semplicità per contro sono meno dirette, non sono
molto efficaci, ad esempio, nello spiegare il fenomeno della rifrazione
conica che nel linguaggio delle superfici di Fresnel è di intuzione
pressoché immediata.

Received on Tue Nov 15 2011 - 22:16:48 CET