Re: Trasformate di Legendre

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: Tue, 26 Apr 2005 18:03:48 +0200

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...

Ho la sensazione, dalle domande che fai, che hai dei problemi molto
tecnici legati alla meccanica ma che allo stesso tempo ci sia ancora
qualcosa che ti sfugge a livello "elementare".

Per la trattazione "elementare" non posso che suggerirti il Callen di
cui parla Enrico. In realta' sulle TDL c'e' una differenza tra prima e
seconda edizione ma non saprei quale delle due considerare migliore.
(Forse la prima...). Qualcosa di succinto (forse se ti focalizzi sugli
esempi e' meglio) c'e' anche sull' Arnol'd. Pero' se non ti va giu'
  forse e' meglio pensare ad altro.

In realta' credo che ci debbano essere almeno altre due fonti di
"illuminazione" sulla TDL. Devo pero' poter passare in biblioteca per
verificarle e postarle (pazienza per un paio di giorni al massimo :-) ).

Il nocciolo della questione e' pero' condensabile nella richiesta di
poter riformulare un problema descritto da un certo "potenziale
generalizzato" in termini di un nuovo "potenziale" in cui la dipendenza
del vecchi da una delle variabili indipendenti e' sostituita dalla
dipendenza del nuovo potenziale rispetto alla derivata del vecchio
rispetto alla variabile indipendente che si vuole eliminare.

In termodinamica puo' voler dire sostituire all' energia libera di
Helmoltz (come funzione di V,T,N) l' energia libera di Gibbs (funzione
di P,T,N). P e' appunto la derivata parziale di F rispetto a V fatta a T
ed N fissati.

In meccanica abbiamo il problema di sostituire alla Lagrangiana
(funzione di q,\dot q,t) una nuova funzione, l' hamiltoniana, funzione
di q, p = _at_L/@(\dot q),t. In meccanica questo ha anche l' effetto di
passare da una funzione definita sul fibrato tangente (lagrangiana) al
fibrato cotangente dello spazio delle configurazioni (hamiltoniana).
Pero', mentre la geometrizzazione della meccanica ha una lunga storia,
la geometrizzazione della termodinamica e' stata tentata/fatta piu'
volte ma non mi sembra che fin qui abbia giocato lo stesso ruolo che in
meccanica. Percio' preferisco considerare i problemi connessi all'
interpretazione geometrica come un "di piu'" motivabile solo dopo che si
e' identificata e motivata fisicamente la struttura geometrica soggiacente.

In quest' ottica le trattazioni "elementari" vanno tutte bene, salvo
reinterpretare a posteriori certe costruzioni in termini piu'
strettamente di geometria differenziale, nelle applicazioni alla meccanica.

Quindi risponderei al tuo post ripartendo da una domanda: se tralasci
gli aspetti geometrici, quanto a tuo agio ti trovi con le TDL come modo
per passare dal formalismo lagrangiano a quello hamiltoniano ?


Giorgio
Received on Tue Apr 26 2005 - 18:03:48 CEST