Re: MQ e spazio delle fasi

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Thu, 24 Mar 2005 21:20:59 +0100

Luca Molari ha scritto:
> Dopo una breve introduzione alla meccanica quantistica mi � sorto un
> dubbio relativo all'interpretazione del moto di un corpo visto come la
> risoluzione di equazioni differenziali nello spazio delle fasi. Dal
> principio di indeterminazione deriva la discretizzazione di x , v; ci�
> che non capisco � come si possa definire il sistema x'=phi_x ;
> v'=phi_v (con phi f(x,t)). Mi sembra evidente che il vettore X=(x,v)
> dello spazio delle fasi non possa essere definito completamente e il
> vettore phi=dX/dt=(x',v') non possa esistere in quanto il termine dt �
> praticamente indefinito, avendo dimensione dell'ordine del salto della
> variabile X discretizzata. Commetto un errore di fondo? Grazie per
> l'attenzione.
Temo che tu sia una delle (molte) vittime delle "lauree triennali" :-(
Voglio dire che a forza di "brevi introduzioni" non si capisce piu'
niente.
Egoisticamente, sono contento di non essere uno studente di oggi, e
tra poco neppure piu' un professore...

A quello che hai scritto avrei due grosse obiezioni. Una e' sulla tua
confusione, e la spieghero' tra poco. Ma l'altra temo che sia sul modo
come l'argomento ti e' stato presentato...

Spazio delle fasi, traiettoria, eq. del moto del punto in quello
spazio, ecc. ecc. riguardano la mecc. statistica *classica*.
Percio' in questo contesto x e v (sarebbe meglio parlare di p) sono
grandezze perfettamente definite, e non c'e' nessun problema.

Se si vuol fare mecc. stat. quantistica, il modo pulito di farlo e' di
usare la mecc. quantistica *sul serio*: spazio di Hilbert, operatori,
autostati dell'energia, e poi operatore di densita', ecc.
Questo e' fuori di cio' che hai sentito, e non dovremmo occuparcene;
l'ho detto solo per indicarti che esiste una mecc. stat. quantistica
*seria*.

C'e' poi una trattazione ibrida, che cerca di ricavare alcuni
risultati importanti della mecc. stat. quantistica per una via che
potremmo definire "semiclassica", in cui si lavora sullo spazio delle
fasi, e poi si aggiunge un "emendamento" per tener conto in qualche
modo del piu' importante effetto quantistico.

La regoletta base di questo approccio e': calcolare uno stato del
sistema per ogni volume h^3 nello spazio delle fasi.
Utile per il conteggio degli stati, da cui ricavare funzioni
termodinamiche, equazioni di stato, e altro.
Pero' devi tener presenti due cose:
a) Le regoletta e' come ho detto un ibrido comodo, ma non puoi
aspettarti di adoperarla in modo rigoroso, come se ci fosse davvero
una "quantizzazione" (anzi tu parli di "discretizzazione") dello
spazio delle fasi.
b) In ogni caso la deduzione cui accenni dal pr. d'indet. e' del tutto
insoddisfacente, perche' ti puo' dare al meglio una specie di ordine
di grandezza delle celle, mentre nella regoletta c'e' un bel h^3,
preciso preciso, e va bene cosi'.
                     

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Thu Mar 24 2005 - 21:20:59 CET