Re: valore principale dell'integrale secondo Cauchy

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 08 Mar 2005 21:25:32 +0100

Floriana ha scritto:
> Salve a tutti. Sto preparando l'esame di metodi matematici della
> fisica. Qualcuno potrebbe darmi la definizione precisa e rigorosa di
> valore principale di un integrale secondo Cauchy, mettendone in
> evidenza le differenze ripetto alla nozione di integrale improprio?
Supponiamo che la singolarita' sia in x=0, mentre la tua funzione sia
regolare quanto occorre in un intervallo [a,b] che contiene lo 0.
Allora l'integrale principale e' definito da

lim_{eps-->0} [\int_a^{-eps} f(x) dx + \int_eps^b f(x) dx].

se il limite esiste.

Per l'integrale improprio si richiede di piu': deve esistere il
limite di

\int_a^{-eps1} f(x) dx + \int_eps2^b f(x) dx

quando fai tendere a zero *indipendentemente* eps1 e eps2.

L'esempio banale e' f(x) = 1/x: puoi verificare che l'integrale
principale esiste e vale ln(b/|a|) mentre i due integrali impropri
danno risp. -infinito e +infinito, per cui il limite della somma non
esiste.

Spero di essere stato suff. "preciso e rigoroso", ma non si sa mai:
dipende dalle pretese del tuo prof :-)
  

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue Mar 08 2005 - 21:25:32 CET