Il 14 Feb 2005, 21:39, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
Secondo me hai sempre il problema che quando per esempio
consideri il prodotto infinito dei vettori unitari |x,+> e lo vuoi
esprimere in termini dei vettori di base |z,+> |z,-> compaiono
solo prodotti infiniti che si annullano. Per risolvere questo
problema proponi di rappresentare questi vettori lasciando esplicitate
le somme in ogni componente tensoriale. Almeno in primo passo,
poi di descriverli mediante completamento con ricorso a collezioni
finite e prodotti scalari. Puoi per esempio considerare le
sequenze, come dicevi che hanno solo un numero finito di |z+>
Non capisco se e come fa il completamento a la Cauchy a contenere un
vettore come (1/sqrt(2) |+>) ripetuto da meno infinito a piu' infinito, non
puo'. Non capisco cosa intendi per completamento.
Occorre pensare un completamento * ovvero un completamento in
senso debole. O su R che diventerebbe R * o sui prodotti scalari.
> Siano f={f_i}, f'={f'_i} due successioni che differiscono solo per un
> insieme I finito di valori di i. Allora la coppia g={f,f'} la chiamo
> _somma_.
> E' importante come definisco su questa somma il prodotto scalare, ma
> e' anche ovvio: se h={h_i}, definisco (g,h) = (f,h)+(f',h). (Notate
> che per la propr. distributiva tutti i termini del prodotto infinito
> che non vengono da I si rattorizzano.)
> Dopo di che si estende in modo ovvio alle combinazioni lineari di un
> numero finito di termini, e poi si fa il completamento (stavolta non
> ci sono cascato ;-) ).
>
> Che ne dite, ci siamo?
Scusa l'insolenza. Forse no, pero' per test voglio esplicitare un
esempio. Nel caso finito dimensionale considera due vettori:
prodotto su i e somma su j f^ij (e_j)_i
prodotto su i e somma su j g^ij (e_j)_i
La somma allora non e' prodotto su i e somma su j [f^ij+g^ij](e_j)_i.
e' piuttosto derivante dallo sviluppare il prodotto su i e su tutti i
possibili multiindice j_i di f^ij_i (e_j_i)_i quindi nel mettere insieme
tutti questi vettori. Nel nostro caso per evitare di ricorrere ai numeri
___non archimedei___ che sarebbero necessari quando un numero infinito di
vettori ha coeffiecienti "piccoli" tu proponi che per esempio
(x+y) x (y + 3z) = (x) x (y) +.. 3 (x) x (z)
etc...
siano normalizzati e sommati con i pesi relativi. Per esempio:
(x) x (3x) + (x) x (x) = 4 (x) x (x)
mentre:
(x) x (3x +3y) + (x) x (x) = 3 sqrt(2) (x) x [(x+y)/sqrt(2)] + (x) x (x).
che pero' possiamo anche scrivere:
(x) x (4x + 3y).
se pero' anche il primo vettore e' differente allora:
(x + y) x (3x + 3y) + (x) x (x)
non puo' certo essere ridotto ad una sola sequenza.
pure se con la tecnica mediante cui hai definito il
prodotto scalare risulta possibile ottenere l'identita'
a:
(x) x(4x + 3y) + 3 (y) x (x) per esempio.
Nel caso in questione si potrebbe proporre di seguire
l'analoga via, pero' risulta in tal caso naturale rinunziare all'uso di
numeri
archimedei oppure rappresentare nello spazio delle sequenze quelle
sequenze i cui prodotti scalari convergono uno per uno ai valori desiderati.
Per esempio: [1/sqrt(2)]^n |+>....|+> + [1/sqrt(2)]^n |->....|-> in tutti i
possibili
2^n modi converge allo stesso valore come ...|x,+>... concluso.
Usando l'estensione non standard dei numeri si ottiene lo stesso scopo
introducendo gli ultrafiltri e si puo' esprimere la somma che hai detto
esattamente come [1/sqrt(2)]^oo ...|+> ... |->... in tutti i possibili modi.
Dove oo dipende da quel tutti i possibili modi, nel suo rapporto con
l'alfa. Occorre introdurre i gruppi di permutazione di ordine infinito,
etc...
In caso contrario si rischia di sapere di cosa si parla solo quando si
tace. Cioe' questa topologia * che proponi con estensioni finite mi
sembra ancora troppo forte rispetto alle possibilita' concrete.
Cioe' per esempio quando vuoi costruire delle interazioni a te non
importa solo di approssimare certi prodotti scalari ma anche certe
funzioni costruite con questi prodotti scalari, ovvero le interazioni.
Ora niente ti garantisce che se pure ciascuna di questi prodotti scalari
sia ben approssimato lo stesso sia per qualunque funzione eventualmente
di ordine infinito che vuoi andare ad approssimare.
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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue Feb 15 2005 - 01:03:53 CET