Re: Derivata di un punto

From: Giorgio <remove-naum_at_iol.it>
Date: Sun, 06 Feb 2005 17:14:22 GMT

"Vin" <sandrosky_at_v.n> ha scritto nel messaggio
news:sq%Md.29262$2h5.9660_at_tornado.fastwebnet.it...
> Buongiorno a tutti.
> Ho qualche problema con il concetto di derivata di un punto.
> Io faccio la derivata sulle coordinate di un punto, se questo si sposta io
> vedo il cambiamento di coordinate e lo relaziono al tempo. Ma cosa si
> intende per spostamento? la distanza fra i due momenti? Se ho un punto in
> R^1 non ho problemi perch� lo tratto come una funzione normale, ma se sono
> in R^2, ad esempio, devo considerare la distanza fra i due momenti, o
> soltanto componente per componente?
>
> Inoltre sul libro definisce la derivata come il prodotto fra lo
> spostamento relativo ad un lasso di tempo PER l'inverso di tale lasso di
> tempo. E poi in una nota a fondo pagina viene messo in evidenza che
> praticamente si tratta del rapporto incrementale come per le funzioni
> numeriche, ma che in realt� si tratta del prodotto sopra citato.
> Dove sta la differenza nei due casi?
>
> Ciao e grazie!

Ciao Vin,
mi sembra che tu stia confondendo il concetto generale di derivata con la
definizione fisica di velocit� (che costituisce solo un esempio )...
Considera la funzione x(t) (con x : R-->R): si tratta di una funzione
definita sull'asse R a valori in R interpretabile come legge oraria del moto
di un corpo che si muove in un mondo unidimensionale. La t variabile
indipendente rappresenta il tempo, mentre la var dipendente x rappresenta la
posizione rispetto ad un punto fissato di riferimento. x(t) allora mi indica
in quale posizione si trova il mio corpo all'istante t.
Supponiamo che il corpo si trovi in x_1 = x(t_1) all'istante t_1 e in x_2 =
x(t_2) all'istante t_2 con t_2 = t_1 + Dt:
Lo spostamento del corpo nell'intervallo di tempo Dt = t_2 - t_1 � Dx =
x_2 - x_1
Il rapporto incrementale della funzione � per definizione (generale) il
rapporto tra la variazione della variabile dipendente e la variazione della
variabile indipendente: in questo caso esemplificativo il rapporto
incrementale � vm =Dx / Dt e rappresenta fisicamente la velocit� media del
corpo.

La derivata della funzione x(t) nel punto t_1 � (se esiste) il limite del
rapporto incremetale al tendere a zero dell'incremento Dt della variabile
indipendente. In generale !!!
Nell'esempio questo numero che si indica con x'(t_1) rappresenta la velocit�
istantanea del corpo all'istante t_1 ed � la velocit� a cui solitamente ci
si riferisce (v=dx/dt dove "d" minuscolo indica che la variazione D �
infinitesima ) !!

Precisato cosa si intende per velocit� istantanea nel caso unidimensionale,
si pu� generalizzare al caso multivariato (es. n=3)!!
La legge oraria di un corpo che si muove in 3 dimesioni � una funzione X(t)
: R-->R^3 cio� � definita sull'asse reale R (il tempo t) ed assume valori
in R^3 (X � un vettore a 3 componenti che rappresentano le coordinate
spaziali della posizione, cio� X=(x,y,z))
X(t) � un modo semplificato per dire (x(t),y(t),z(t))

Supponi che all'istante t_1 il corpo si trovi in
X_1=X(t_1)=(x(t_1),y(t_1),z(t_1)) e all'istante t_2 il corpo si trovi in
X_2=X(t_2)=(x(t_2),y(t_2),z(t_2)).
In questo caso lo spostamento � dato dal vettore X_2-X_1= (x_2-x_1, y_2-y_1,
z_2-z_1)
Si pu� allora definire una velocit� media o istantanea analogamente a quanto
fatto al caso unidimensionale...
La velocit� media sar� allora un vettore 3-dim VM=( Dx/Dt , Dy/Dt , Dz/Dt) =
(vm_x , vm_y , vm_z ) dove vm_x � la velocit� media nella direzione x, vm_y
nela direzione y e vm_z nella direzione z ( � la composizione dei tre moti
unidimensionali)
Per analogia la velocit� istantanea � un vettore 3-dim V=( dx/dt , dy/dt ,
dz/dt) = (v_x , v_y , v_z )

Spero di essere stato abbastanza chiaro
Ciao Giorgio
Received on Sun Feb 06 2005 - 18:14:22 CET