Re: rottura spontanea della simmetria(e ripristino)

From: Paolo Avogadro <paolo_avogadro_at_libero.it>
Date: Thu, 03 Feb 2005 21:46:30 GMT

Ciao



> Direi che non hai colto lo spirito del modello.
......
>
> Vorrei spezzare una lancia a favore del bastone :)
>
> In primo luogo, sipuo' benissimo scrivere una lagrangiana: hai una
> sbarra rigida ma elastica a flessione, il cui momento flettente in ogni
> punto determina la curvatura.
> (Si puo' anche studiare il problema in un piano: ci sara' sempre la
> simmetria destra-sinistra.)
> Hai dunque un'energia potenziale elastica, un'energia cinetica ovvia,
> quindi la lagrangiana ecc.
>
> Ma in ogni modo quella che interessa e' la ricerca delle soluzioni di
> equilibrio.
> Se x e' un'ascissa lungo la sbarra, y la deformazone di questa, F la
> forza applicata agli estremi (lungo x) l'equazione esatta
> all'equilibrio e'
>
> k*y"*(1+y'^2)^(-3/2) + F*y = 0
>
> dove k e' la costante di prop. tra momento flettente e curvatura.
> Per piccole deformazioni questa si semplifica:
>
> k*y" + F*y = 0
>
> e la soluzione e' y = A * sin(wx)
>
> con w = sqrt(k/F).
>
> Se imponiamo y(0)=y(l)=0 troviamo w*l = pi, da cui si ricava F:
> F = k*l^2/pi^2.
> La soluzione esatta e' una funzione ellittica, ma si puo' intuire che
> esiste una soluzione solo se F e' almeno pari al valore trovato sopra.
>
> L'interesse del problema e' appunto l'esistenza di una soglia: se F e'
> inferiore la sbarra resta dritta, se F e' maggiore si flette, e da che
> parte si fletta non e' determinato dall'equazione.

Vediamo se posso iscrivermi ai ghostbusters:
La differenza qualitativa tra l'esempio di Valer e quello di Elio � che
se prendo l'esempio del campo centrale le soluzioni non simmetriche
"perdono" la simmetria a causa di condizioni iniziali non simmetriche ma
queste condizioni non sono necessarie, mentre in questo modello le
equazioni richiedono che la simmetria non possa continuare ad esistere
al variare di un opportuno parametro.
In pratica il modello per alcuni parametri(che non violano la simmetria)
non ammette soluzioni simmetriche.

A questo punto per� sorge spontanea una domanda, nel modello di
lagrangiana succitato cosa contrasta la forza F quando la sbarra resta
dritta (probabilmente c'� un termine di "resistenza allo schiacciamento"
della barra che non ho notato)?


> Paolo Avogadro ha scritto:
>
>> Il fatto che non esistano rappresentazioni unitarie di un gruppo in
>> che modo � legato all'hamiltoniana del sistema?
>
> Non dipende dall'hamiltoniana, ma dalla struttura dell'algebra delle
> osservabili.
> Un esempio carino e' quello della catena infinita di spin, ovvero
> "ferromagnete infinito".
> Pero' non credo di potertelo descrivere in poche righe...

I post lunghi non mi spaventano... se hai tempo e non ti causa problemi
    io di sicuro lo leggerei (sospetto mi serva pure in altri ambiti,
visto che sto dando un'occhiata al modello di Hubbard), al pi� qualora
dovessi mettere radici durante la lettura qualcuno mi innaffier�.

  Non � forse sufficiente uno spazio vettoriale perch� siano definiti
gli operatori lineari dello spazio in se stesso? Per esempio in L^2(R^3)
non posso definire tutti gli operatori lineari e poi vedere se si pu�
costuire la rappresentazione del gruppo astratto? dove entra in gioco
l'algebra degli operatori?



> BTW: Non sei il primo che scrive "perplime", e ho una certa paura di
> fare una figura... Ma mi sembra di vederlo scritto senza intonazione
> scherzosa, quindi chiedo: da dove esce fuori?
>
> Sparate piano, per favore :-)))
>


Io amo i termini un po' desueti e spesso li uso in maniera scherzosa;
come abbia fatto il "perplime" ad annidarsi tra i miei neuroni non
saprei proprio dirlo.

ciao
   Paolo
Received on Thu Feb 03 2005 - 22:46:30 CET