Il 03 Feb 2005, 21:26, info_at_bazedo.it (dario) ha scritto:
> l'equazione di laplace (div grad v=0) viene risolta con tre diversi metodi
> -dirichlet --> si assegna il valore del potenziale al contorno
> -neumann -->si assegna la derivata del potenziale
> -misto
> ma non mi � chiaro il significato, dove si vuole arrivare..
La prima di queste situazioni corrisponde ad una
problematica concreta. La condizione di Dirichlet
riguarda il caso in cui dei generatori tengono dei
conduttori a potenziale assegnato. La condizione
di Neumann alla situazione in cui e' assegnata
la derivata normale svolge un ruolo nella ricerca
delle funzioni di Green, ma generalmente parlando
non c'e' una situazione concreta semplice in cui occorre
risolvere un problema di Neumann. In verita' con
la soluzione del problema misto nei casi comuni hai
la chiave per risolvere qualunque problema di elettrostatica.
Tuttavia io personalmente non so se in generale esiste
una soluzione per qualunque problema di Laplace con
condizione di Dirichlet e di Neumann generiche. Quel che
viceversa so e' che una condizione simultanea di Dirichlet
e di Neumann conduce ad una soluzione localmente unica.
Per un teorema di Gauss Kowaleskaja. Uscendo dai binari
concreti di applicazione e' possibile trovare situazioni molto
difficili non privi di interesse intellettuale, ma di portata
difficilmente dominabile. In particolare si tratta di problemi
da affrontare con strumenti matematici adeguati che non sono
alla portata di studenti dei corsi di biennio.
Non e' un problema
semplice costruire le soluzioni per i problemi di Dirichlet
e di Neumann e miste in generale, ma con questi strumenti si
possono tradurre le equazioni di Poisson con condizioni al
contorno assegnate in equazioni integrali.
In breve gli ingredienti necessari per risolvere
qualsiasi problema di elettrostatica con conduttori e cariche assegnate,
nell'ipotesi che i potenziali si annullino ad infinito :
I)
la soluzione del problema di N problemi di Dirichlet uno per
ogni singolo conduttore quando l'altro bordo (che consiste della
superfice ad infinito e degli altri conduttori) sia a potenziale zero,
e la funzione di Green per il problema di Dirichlet di ogni singolo
conduttore, che puo' essere vista come soluzione di un problema di
Neumann-Dirichlet.
II)
la soluzione del problema di Dirichlet-Neumann corrispondente
ad assegnare il potenziale zero su tutti i conduttori e ad infinito
ed una carica in un punto esterno ai conduttori.
La soluzione per il problemi di Poisson con condizioni al contorno
di Dirichlet discende da questo. In generale i problemi di Poisson con
condizioni al contorno di Neumann e miste si risolvono conoscendo
le corrispondenti soluzioni al problema di Laplace con condizioni al
contorno di Neumann, Dirichlet e miste, ammesso che queste esistano.
> qualcuno pu� darmi una mano?
>
> grazie mille
>
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Received on Fri Feb 04 2005 - 03:37:23 CET