Re: rottura spontanea della simmetria(e ripristino)

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Fri, 04 Feb 2005 20:55:20 +0100

Paolo Avogadro ha scritto:
> Vediamo se posso iscrivermi ai ghostbusters:
> La differenza qualitativa tra l'esempio di Valer e quello di Elio �
> che se prendo l'esempio del campo centrale le soluzioni non
> simmetriche "perdono" la simmetria a causa di condizioni iniziali non
> simmetriche ma queste condizioni non sono necessarie, mentre in questo
> modello le equazioni richiedono che la simmetria non possa continuare
> ad esistere al variare di un opportuno parametro.
> In pratica il modello per alcuni parametri(che non violano la
> simmetria) non ammette soluzioni simmetriche.
Mi pare giusto.

> A questo punto per� sorge spontanea una domanda, nel modello di
> lagrangiana succitato cosa contrasta la forza F quando la sbarra resta
> dritta (probabilmente c'� un termine di "resistenza allo
> schiacciamento" della barra che non ho notato)?
Certo, la sbarra e' appunto una sbarra, quindi capace di resistere a
compressione.
Potresti pensare a un modulo di Young finito, ma ni pare una
complicazione inutile: assumiamo modulo infinito e buonanotte.

> I post lunghi non mi spaventano... se hai tempo e non ti causa
> problemi io di sicuro lo leggerei (sospetto mi serva pure in altri
> ambiti, visto che sto dando un'occhiata al modello di Hubbard), al pi�
> qualora dovessi mettere radici durante la lettura qualcuno mi
> innaffier�.
Non so che cos'e' il modello di Hubbard.
Facciamo cosi': ci provo a piccole rate, anche perche' mi sa che
dovro' ristudiarmi qualche cosa.
Il che non mi dispiace: alla mia eta' e' piu' importante tenere in
esercizio i neuroni che i muscoli :)

> Non � forse sufficiente uno spazio vettoriale perch� siano definiti
> gli operatori lineari dello spazio in se stesso? Per esempio in
> L^2(R^3) non posso definire tutti gli operatori lineari e poi vedere
> se si pu� costuire la rappresentazione del gruppo astratto? dove entra
> in gioco l'algebra degli operatori?
Vedremo...

> Io amo i termini un po' desueti e spesso li uso in maniera scherzosa;
> come abbia fatto il "perplime" ad annidarsi tra i miei neuroni non
> saprei proprio dirlo.
E' che io direi se mai "perplette".
Infatti il latino e' "perplexus", che viene da "plecto, plexus" (della
terza).

Passiamo alle cose serie :)

La catena di spin non e' che un'infinita' numerabile di sistemi a due
stati, che per ragioni che vedremo conviene pensare disposti su una
retta, in certe posizioni fisse equidistanti, da -oo a +oo.
Ogni sistema ha il suo spazio di Hilbert, in questo caso di dimensione
2: lo chiamo H_i.
L'algebra delle osservabili in H_i consiste dell'identita', delle
matrici di Pauli e relative combinazioni lineari.
(Dato che non c'e' pericolo di equivoci, indichero' con x_i, y_i, z_i le
matrici di Pauli relative al sistema i-esimo.)
A rigore dovrei prendere solo matrici hermitiane, ma queste non
formano un'algebra, quindi bisogna allargarla includendo anche le
combinazioni complesse.

Possiamo (ma solo a scopo euristico) immaginare che ogni sistema abbia
una hamiltoniana E_i che possiamo identificare con z_i, o se
preferisci con (I_i-z_i)/2, che ha autovalori 0 e 1; e chiamare "stato
fondamentale" quello con autovalore 0.
L'hamiltoniana totale sara' E = \sum E_i (non ci sono quindi interazioni).

Per il sistema complessivo dovrei considerare il prodotto tensoriale H di
tutti questi H_i, che non e' separabile.
Una base sarebbe data dai prodotti tensoriali degli autovettori delle
E_i; quindi la base viene descritta dalle successioni bilatere di 0 e
1. L'insieme di queste successioni ha la cardinalita' del continuo,
come ci si doveva aspettare visto che H non e' separabile.

E' ragionevole (ecco a che serve aver introdotto l'hamiltoniana)
limitarsi a considerare solo i vettori base in cui un numero finito di
sistemi e' fuori dello stato fondamentale; ossia solo quelle
successioni con un numero finito di 1. questi formano un insieme
numerabile.
Pero' attenzione: questo non va bene, perche' le combinazioni lineari
finite di questi stati non formano uno spazio di Hilbert (completo).
Poco male: basta considerare la chiusura nella topologia indotta dalla
norma (che non ho detto come e' definita, ma credo sia ovvia).
Questo sara' il nostro spazio di Hilbert (separabile). Lo chiamo H'.

Esercizio: dimostrare che E in H' non e' un operatore limitato.

Fine della prima puntata.
                                  

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Fri Feb 04 2005 - 20:55:20 CET