Ciao, per rottura della simmetria (non nnecessariamente spontanea)
si intende quanto segue. Devi avere un sistema fisico descritto da
una lagrangiana o da una hamiltoniana invariante sotto un gruppo
di simmetria, ma tale che la soluzione delle equazioni del moto
(o di minimo dell'energia) non e' invariante sotto il gruppo stesso.
Quello che accade e' che ci sono tante soluzioni, ciascuna NON
invariante ma connesse l'una all'altra da un elemento del gruppo
di simmetria. Di esempi ce ne sono tantissimi, e' inutile andare
ad arrampicarsi sugli specchi con la questione del bastone che presenti
e che riportano vari libri divulgativi ma che, come critichi e'
fuorviante e poco chiaro (qual'e' la lagrangiana in quel caso?).
Un esempi che ogni fisico conosce e' il caso di una particella sottoposta
a potenziale gravitazionale centrale: la lagrangiana e' invariante sotto
il gruppo delle rotazioni attorno al centro del potenziale, ma ciascuna
soluzione non lo e'. Tuttavia passi da una soluzione ad un'altra con
una rotazione attorno al centro del potenziale.
La rottura "spontanea" della simmetria e' un concetto delle teorie
quantistiche di campo piu' difficile e spesso non e' spiegato bene
nemmeno sui libri tecnici. Si tratta della seguente situazione:
la lagrangiana (o hamiltoniana) del sistema presenta, _classicamante_,
invarianza sotto un gruppo di simmetria. Pero' passando alla quantizzazione,
tale gruppo NON ammette una rappresentazione in termini di operatori unitari
sullo spazio di Hilbert del sistema. In pratica l'azione del gruppo di
simmetria "fa uscire" dallo spazio di Hilbert. Quindi per esempio
esistono vari "ground states" che corrispondono ad un minimo dell'energia,
che pero' appartengono a spazi di Hilbert diversi e non possono coesistere
ne possono avvenire transizioni da uno di questi stati ad un altro
Si parla di diversi "settori" della teoria.
(Dal punto di vista matematico, spesso si incontrano spazi di Hilbert non
separabili. Il linguaggio piu' potente e chiaro per lavorare con queste
cose e' la cosiddetta "formulazione algebrica della teoria dei campi
quantistici") Ci sono vari casi interessanti anche riguardanti la teoria
delle transizioni di fase.
Nelle teorie di gauge non abeliane, la lagrangiana dei campi di gauge e'
invariante sotto tutto il gruppo di gauge. Tuttavia, quando quantizzi,
scorpri che solo alcune trasformazioni di gauge sono rappresentabili
unitariamente, altre no. La ragione e' di carattere topologico, ma non
mi dilungo perche' non ho molto tempo.
Il punto importante e' il seguente: dato che il mondo e' quantistico,
nella realta', in presenza di rottura spontanea della simmetria,
si ha che effettivamente il mondo e' meno simmetrico di quello
che ci si aspetta, perche' se certi stati quantistici sono ammissibili
vuol dire che quelli che appartengono ad altri settori non lo sono:
non c'e' alcun modo fisico di produrli. La natura sceglie un settore.
Secondo il modello standard, la massa delle particelle eccetto quella
del bosone di Higgs nasce proprio da un fenomeno di rottura _spontanea_
della simmetria...
Mi fermo qui perche' ho gia' detto tanto.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dept of Mathematics
Trento University
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Tue Feb 01 2005 - 10:24:37 CET