Re: rottura spontanea della simmetria(e ripristino)

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Wed, 02 Feb 2005 21:27:34 +0100

Paolo Avogadro ha scritto:
> In un libro di teoria quantistica dei campi, nell'introduzione, ho
> letto come esempio quello di un "bastone a pianta circolare" che se
> poggiato a terra e premuto con forza prima o poi si piega da un lato.
> ...
> Questo esempio mi ha sempre lasciato un po' perplesso.
> Dal mio punto di vista in un tale problema non c'� alcuna rottura
> della simmetria, in quanto il problema presenta simmetria solo a
> livello macroscopico e quindi ha senso considerarlo simmetrico solo se
> le asimmetrie (della struttura del cilindro) sono inifluenti.
>
> Ergo non vedo la rottura della simmetria.
> (tra l'altro a quanto ho capito la rottura spontanea della simmetria �
> una "caratteristica" quantistica e quindi l'esempio classico mi
> perplime ancora di pi�)
Direi che non hai colto lo spirito del modello.
Non si tratta di fare un modello realistico di quacosa di reale, ma
solo di studiare una struttura matematica, che presenta proprieta'
insolite.
Percio' il discorso del microscopico non c'entra.

Il seguito della risposta lo trovi piu' avanti.

Valter Moretti ha scritto:
> Quello che accade e' che ci sono tante soluzioni, ciascuna NON
> invariante ma connesse l'una all'altra da un elemento del gruppo di
> simmetria. Di esempi ce ne sono tantissimi, e' inutile andare ad
> arrampicarsi sugli specchi con la questione del bastone che presenti e
> che riportano vari libri divulgativi ma che, come critichi e'
> fuorviante e poco chiaro (qual'e' la lagrangiana in quel caso?).
Vorrei spezzare una lancia a favore del bastone :)

In primo luogo, sipuo' benissimo scrivere una lagrangiana: hai una
sbarra rigida ma elastica a flessione, il cui momento flettente in ogni
punto determina la curvatura.
(Si puo' anche studiare il problema in un piano: ci sara' sempre la
simmetria destra-sinistra.)
Hai dunque un'energia potenziale elastica, un'energia cinetica ovvia,
quindi la lagrangiana ecc.

Ma in ogni modo quella che interessa e' la ricerca delle soluzioni di
equilibrio.
Se x e' un'ascissa lungo la sbarra, y la deformazone di questa, F la
forza applicata agli estremi (lungo x) l'equazione esatta
all'equilibrio e'

k*y"*(1+y'^2)^(-3/2) + F*y = 0

dove k e' la costante di prop. tra momento flettente e curvatura.
Per piccole deformazioni questa si semplifica:

k*y" + F*y = 0

e la soluzione e' y = A * sin(wx)

con w = sqrt(k/F).

Se imponiamo y(0)=y(l)=0 troviamo w*l = pi, da cui si ricava F:
F = k*l^2/pi^2.
La soluzione esatta e' una funzione ellittica, ma si puo' intuire che
esiste una soluzione solo se F e' almeno pari al valore trovato sopra.

L'interesse del problema e' appunto l'esistenza di una soglia: se F e'
inferiore la sbarra resta dritta, se F e' maggiore si flette, e da che
parte si fletta non e' determinato dall'equazione.

> ...
> Un esempi che ogni fisico conosce e' il caso di una particella
> sottoposta a potenziale gravitazionale centrale: la lagrangiana e'
> invariante sotto il gruppo delle rotazioni attorno al centro del
> potenziale, ma ciascuna soluzione non lo e'. Tuttavia passi da una
> soluzione ad un'altra con una rotazione attorno al centro del
> potenziale.
Questo invece e' troppo banale, proprio perche' le soluzioni
non simmetriche ci sono sempre, e infatti non meravigliano nessuno...

Paolo Avogadro ha scritto:
> Il fatto che non esistano rappresentazioni unitarie di un gruppo in
> che modo � legato all'hamiltoniana del sistema?
Non dipende dall'hamiltoniana, ma dalla struttura dell'algebra delle
osservabili.
Un esempio carino e' quello della catena infinita di spin, ovvero
"ferromagnete infinito".
Pero' non credo di potertelo descrivere in poche righe...

> Potresti indicarmi un testo che tratti della rottura della simmetria
> in modo chiaro? e, se magari hai tempo, dopo aver rotto la simmetria
> mi indicassi anche come fare per ripristinarla te ne sarei grato!
Qui la risposta la lascio a Valter, perche' io ho smesso di
occuparmi di queste cose quasi 40 anni fa :)

A quei tempi tenni anche delle lezioni, ma anche se fossero reperibili
non te le potrei consigliare, perche' erano al livello che oggi si
direbbe di dottorato.

BTW: Non sei il primo che scrive "perplime", e ho una certa paura di
fare una figura... Ma mi sembra di vederlo scritto senza intonazione
scherzosa, quindi chiedo: da dove esce fuori?

Sparate piano, per favore :-)))
                                    

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Wed Feb 02 2005 - 21:27:34 CET